sull'attkazione degli ellissoidi, ecc. 11 



Armoniche ellissoidali di 2 a specie 

 ed attrazione di uno strato ellissoidale. 



§ 7. — Con delle considerazioni identiche a quelle fatte in principio del § pre- 

 cedente, in virtù del lemma stabilito al § 5, si conclude che qualsiasi funzione, razio- 

 nale e intera, delle variabili x, y, z si può esprimere nella forma : 



(IX) y; = raic£c W j" e 



P<i, r 



dx>>òyiòr r ~3ì(sj 



(p + 2 + r=0,l, 2, ...,«). 



Consideriamo V x come una funzione potenziale all'interno dell'ellissoide fonda- 

 mentale: n = 0, e continuiamola al di fuori nella funzione: 



(X) \V e = mbc ^T a PÀ A 



ftP+1+r fxP+l+l- ds 



p,q,r s, 



La V è una' funzione armonica in tutto lo spazio esterno all'ellissoide, la quale 

 sovra di questo, e all'interno, coincide colla funzione intera arbitrariamente data V t . 

 Con ciò è provato il primo teorema enunciato nella introduzione. 



Dalle proprietà caratteristiche delle funzioni potenziali risulta ovviamente che la 

 funzione V così definita in tutto lo spazio è la funzione potenziale di una massa 

 distribuita in parte sovra la superficie ed in parte all'interno dell'ellissoide. 



La densità k del corpo ellissoidico risulta facilmente essere: 



( 7 V / I I 1 àP+l+r V0P+1+'- 1 



(XI) ' V,V 



(jp + ? + r = 2,3,4 f ...,n); 



mentre la densità h dello strato superficiale è somministrata dal teorema di Poisson: 



ÒNi ' ÒNe 



Tenendo presente la relazione: 



ifiì — 2P P 



1 1 OC ! "W^ 2^ 



si trova subito: 





dxPdyldz 1 ' 



PW 



e, poiché sull'ellissoide fondamentale si ha: Mo — 0i l'espressione della densità super- 

 ficiale si può anche scrivere: 



( *-^2f-«r*.(»+ S + r)l^(5)'(*) , (7 

 (XII) 



(p + q + f^O, 1,2, ...,n). 



