10 GIACINTO MOKEEA 



Attrazione di un ellissoide eterogeneo. 

 § 6. — Pongasi: 



X' 



*% 



Ho = l i is — = 1 — V, 



a o- e' 



sarà : 



MS = (- 1)" j v" - MV - 1 + -^- v- -...(. 



Se si formano le .V derivate w mc di u'ó, i termini di grado n nelle loro espres- 

 sioni sono quelli che nascono per derivazione di v, sicché, essendo D>0, come 

 dimostrammo al § 4, tali termini si possono esprimere mediante funzioni lineari di 

 dette derivate e di termini dei gradi n — 2, n — 4, ecc. Del pari i termini di grado 

 ti — 2 si possono linearmente esprimere in funzione delle derivate n — 2 me di u? -2 e 

 di termini dei gradi n — 4, n — 6, ..., e cosi via. Giungiamo così al teokema: 



Qualunque funzione, razionale e intera, delle variabili x, y, z si può esprimere nella 

 forma : 



(Vili) k = £cw 



dxPdyidz r 



ove le a indicano delle costanti e le p, q, r tó numeri interi, la cui somma non supera 

 il grado della funzione (Veggasi il § 14). 



Si consideri un corpo ellissoidico, limitato dall'ellissoide u = 0, nel quale la 

 densità k sia una funzione razionale intera delle coordinate: questa si può sempre 

 esprimere nella forma [Vili]. Ciò posto si ha il teorema: 



La funzione potenziale dell'ellissoide è: 



v=nabc y a »* r f 



£j p+q+r+l J 



y+ì+r nP+g+H-l <fe _ ,T 2 ? / 2 



òx?òìfbz r 5ft(s) ' ^ " « 2 -fs b 2 +s c'+s " 



Questa espressione della funzione potenziale si può agevolmente verificare col 

 classico procedimento di Dirichlet. 



Si vede subito infatti: che V è colle sue derivate prime uniforme, finita e con- 

 tinua in tutto lo spazio ; che essa inoltre è armonica all'esterno dell'ellissoide, mentre 

 che all'interno il suo secondo parametro differenziale è appunto uguale a — 4tt& (*). 



(*) Si rammenti che posto : 



. f*n»ds 



so 

 all'interno si ha: 



A 2 w„ = — 4tt . «n " _1 . 



