SULL ATTRAZIONE DEGLI ELLISSOIDI, ECC. 9 



Introducendo nello sviluppo di f" iy in luogo dei prodotti x\x\x' 3 , y\y\y\ le u ViV si 

 ottiene evidentemente una forma quadratica essenzialmente positiva, e cioè la somma 

 di quadrati con coefficienti positivi: 



(VII) . ^^^-aMalul iir . 



P,1,r 



Un termine qualunque dello sviluppo di fl~ z è della forma: 



( w ~ W nf'nS'n 7 ' r^W ./«!'«" 



2J ! q : r 



(p' + q' + r' = n-2}. 



Il prodotto di questo termine perle f x f y , per introduzione delle u, si converte 

 ovviamente nel quadrato di una forma lineare nelle u. 



Continuando in questa guisa si vede senza difficoltà che la forma <t> si può 

 esprimere mediante una somma di quadrati moltiplicati per coefficienti positivi, sicché, 

 tenuta presente la (VII), si conclude il lemma seguente: 



La forma quadratica $, appartenente alla forma ternaria 



(a x x\ + a. 2 x\ + a s x 2 3 ) n , (a lt a 2 , a 3 >0), 



è sempre essenzialmente positiva, e cioè, non può annullarsi che ponendovi uguali a zero 

 tutte le variabili u. 



Come corollario immediato di questo lemma si ha che è diverso da zero il discri- 

 minante D, ossia il determinante dei coefficienti C nelle N = » derivate n me della 



funzione: 



fi = {a 1 x 1 + a 2 x % + a 3 x s f. 



§ 5. — Nella f x si mutino a 1: a 2 , a 3 rispettivamente in a , , 2 , , e si 

 consideri la forma: 



J \ a, 2 +s "r" a^+s "T" a 3 2 +s I ]j (af+s) («, 2 +s) (a 3 2 -H ' 

 



Detta <t>(s) la forma quadratica appartenente alla fi 





\af-\-s «2 J +S «3 2 +* 



risulterà : 



<t>{s)ds 



H' 



V («•*+«) («.H-») («.'+«)' 



Dunque anche la forma quadratica cl> appartenente alla F è essenzialmente positiva. 

 Si può quindi in particolare affermare che è diverso da zero il determinante D 

 dei coefficienti C nelle N derivate w me della F. 



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