SULL ATTUAZIONE DEGLI ELLISSOIDI, ECC. 3 



possono essere indipendenti; e lo sono effettivamente, per es., le seguenti: 



U P. q ,o (p +q —n); 



CW,l ti>' + Ì = n - 1). 



Infatti, all'infinito essendo la U n asintotica a — , vediamo che le armoniche ele- 

 mentari dell'ordine n mo sono asintotiche alle armoniche sferiche: 



òxfòyìòz r ' 



le quali, moltiplicate per p n+I , somministrano tutte le funzioni sferiche dell'ordine n mo , 

 fra le quali le indipendenti sono appunto 2n-\-l. 



In questo lavoro dimostro il seguente teobema: 



Con una combinazione lineare delle 



%,i,r {p + q + r<n) 



è sempre possibile comporre una funzione, armonica all'esterno dell'ellissoide, che sovra 

 di esso si riduce ad una funzione razionale intera, del grado n mo , arbitrariamente data. 



La dimostrazione di questa proposizione è basata sovra un lemma d'algebra, dal 

 quale, come corollario, segue pure quel lemma che io recentemente impiegai per 

 determinare la funzione potenziale dell'ellissoide eterogeneo e del quale negli Atti 

 dell'Accademia io indicai una dimostrazione indiretta e poco soddisfacente (*). 



Una funzione, arbitrariamente data sull'ellissoide, si può sempre sviluppare in 

 una serie di polinomi, sicché si giunge alla conclusione seguente: 



Qualsiasi funzione armonica, fusti dell'ellissoide, si può sempre rappresentare con 

 una serie del tipo: 



V 



n=0 



ove nello sviluppo del simbolo derivatorio in luogo di esalai (p -j- q -\-r = n) è da porre 

 un coefficiente costante a Mi ,.. 



Le armoniche ellissoidali elementari, di cui qui mi occupo, furono già da lungo 

 tempo da me considerate. Fin dal 1894, in un breve scritto da me pubblicato, io 

 mostrai come una funzione , armonica fuori dell' ellissoide, che sovra di questo si 

 riduce ad una funzione intera di 2° grado delle coordinate, si possa esprimere con 

 una combinazione lineare: delle derivate seconde di U 2 , delle derivate prime di TJ^ 

 e di U (**). 



(*) " Atti „ voi. XXXIX, p. 332 e p. 338. 



(**) Vedi nei " Rendic. della R. Acead. dei Lincei „, voi. Ili, 1° seni., la mia Nota intitolata: 

 Alarne considerazioni relative alla nota del prof. Pizzetti " S'ull' esjyressione della gravità alla superfìcie 

 del geoide supposto ellissoidico „ (p. 371-377). 



