GIACINTO MOREKA 



Se il punto potenziato si discosta indefinitamente dall'ellissoide, osservato che s x 

 è asintotico a p 2 = x 2 -\- y' 2 -\- z 2 , si vede che U n è asintotica alla funzione: 



la quale, posto : 



1.3...2»+1 



■r<»-^r.- f *. 



p j 



si può scrivere: 



1.3...2»+1 



2" re! 



z* ' 



— [\l— z 2 fdz = ~ 

 p ) K p 



Dunque all'infinito la funzione U„ è asintotica alla funzione — . 



P 



All'esterno dell'ellissoide la U n è una funzione armonica e tali sono pure le sue 

 derivate àeìYn m ° ordine: 



d"U„ 



dxPdyiàz 7 



U M , r {p + q-\- r = n). 



Ora si vede ovviamente che una simile derivata sull'ellissoide ed all'interno si 

 riduce ad un polinomio, del grado n, nelle coordinate. 



Basta infatti tener presente .ehe quando il punto potenziato cade sull'ellissoide 

 sarà: 



ì— 4 — 4 - 4 = o , si = o , 



ar fi- e 



e che per conseguenza quivi avremo : 



» + l f° ò"(l-v)" 



TT _ 1.3...2» + 1 p ò"(l-v)" ds 

 M ' r ~~ 2"+' n J dxPÒyidz' 



ove per brevità abbiamo posto: 



ar i ;y'' , z 2 



V(a 2 + s) (è 2 + s) (e 2 + s) = SR(s). 



Queste derivate n me sono le nostre funzioni armoniche elementari di 2 a specie, 

 de\Yn m " ordine. Il loro numero è { ; però notiamo che dall' essere : 



segue : 



2 

 A,Z7 n = 0, 



-0 ^ +3 ' + /. = w _o), 



bxP'dy 9 'òz r ' 



sicché tra esse intercedono '-^ — relazioni lineari. Adunque fra le armoniche ele- 

 mentari di ordine n al più: 



(n + l)(n+8) _ w(w-l) = ^ + X 



Li il 



