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Il contenuto logico di questa definizione è stato fin qui solo in parte 

 oggetto di analisi. Invero, da parecchi studi intorno ai principi della Geometria di 

 Posizione emergono bensì diversi ordini di proprietà o condizioni geometriche (postu- 

 lati della Geometria Projettiva reale) sufficienti a produrre fra gli individui d'una 

 classe, dove sian tutte verificate, e i gruppi di r -f- 1 numeri reali una corrispon- 

 denza della, specie suddetta: ma per la varietà lineare complessa non si conosce 

 ancora un sistema di attributi e caratteri intrinseci, atti a qualificarla in maniera, 

 che ne derivi senz'altro la rappresentabilità dei suoi punti per coordinate omo- 

 genee complesse (*). 



Il presente Saggio si propone appunto l'analisi del concetto di varietà lineare 

 complessa: cercando di istituire su nuovi principi una Geometria Projettiva com- 

 plessa — o dottrina geometrica degli immaginari — esente non solo da 

 qualsivoglia considerazione algebrica; ma sciolta eziandio da ogni vincolo dedut- 

 tivo con l'ordinaria Geometria Projettiva reale. 



Nessuno ignora quale altissimo vanto spetti a G. C. v. Staudt (**) per avere, 

 con magistero d'arte squisita e mirabile esempio d'ingegno, costruito un sistema 

 geometrico capace di porgere, dentro l'ambiente in cui svolgesi l'ordinaria Geometria 

 Projettiva, una perfetta interpetrazione reale di qualsivoglia fatto algebrico che possa , 

 incontrarsi nel dominio di tre o quattro variabili omogenee complesse. Ma si con- 

 viene altresì generalmente, che l'opera di Staudt — alquanto macchinosa e scar- 

 samente intuitiva di sua natura, a cagione dell'artificio che la governa (***) — non 

 ha ottenuto fin qui nelle Scuole tutto il favor che le spetta; ne resi tutti i servizi 

 e prodotti i benefici, di cui sarebbe capace. Il proposito di recare in quest'ordine 

 d'idee fondamentali per la moderna Geometria qualche sensibile contributo di sem- 

 plicità e brevità non è dunque ingiustificato. 



D'altra parte, a voler procedere sulle orme di Staudt, era ormai vano sperare 

 in notevoli semplificazioni — come fu giustamente osservato (****). Restava che si 

 provasse altra via: cioè per mezzo di qualche felice innovazione alla struttura e 



(*) Si pub avere un'idea circa la natura e le difficoltà di questo problema, considerando ch'esso 

 equivale in sostanza a voler qualificare, nei rispetti dell'Analysis situs, certe varietà reali alge- 

 briche da 2r dimensioni e d'ordine ( r '), immerse in un Sr[r+2j, che furon proposte all'ufficio 

 d'immagini reali dell'Sr complesso: ved. C. Segee, Le rappresentazioni reali delle forme com- 

 plesse, ecc., " Math. Annal. „, XL. 



(**) Die Geometrie der Lage (Nurnberg, Fr. Korn ed.. 1847), e Beitràge zur Geometrie der Lage 

 (Ibidem, 1857-60). 



(***) " Chi può concepire nella sua mente lo spazio di punti immaginari, che Staudt 

 ha studiato ecc.? „ C. Segee, La Geom.* d'oggidì, e i suoi legami con l'analisi (Congresso di Heidelberg, 

 Agosto '904). 



(****) C. Se8re, Le coppie di elementi immaginari nella Geom.* proj. sintetica (" Mem. dell'Accad. d. 

 Se. di Torino „, t. XXXVIII 2 , 1886), pag. 4. — G-. Daeboux nel discorso sull' " evoluzione dei metodi 

 geometrici „ (Congress of Arts and Science at S. Louis. Sept. '904), a proposito della dottrina 

 Staudtiana degli immaginari: " This extension, although rigorous, is difficult and very abstract... 

 In this there is something a little artificial; the development of the theory erected on such 

 foundations is necessarily complicated.. . In spite of the efforts of distinguished geometers who 

 have essayed to simplify its esposition, we fear that this part of the Geometrie of von Staudt . . . 

 can not prevail against the analytic methods... „ (Transl. by G. Bruce Halsted). 



