3 NUOVI PEINCIPII DI GEOMETRIA PROTETTIVA COMPLESSA 191 



alle linee fondamentali dell'edificio Staudtiano. E questo appunto ho tentato di fare; 

 mosso altresì dall'esempio del medesimo Staudt, che nella " Geometrie der Lage „ 

 potè dare alla Geom. a Proj. a reale una forma e un assetto logico tanto più semplici, 

 perchè — a differenza de' suoi grandi Maestri — si propose di stabilire la Geom. a 

 Proj. a su fondamenta proprie, esclusa ogni dipendenza dalla Geom. a elementare. 

 E così può domandarsi una Geometria Projettiva complessa indipendente dalla 

 Geom. & Proj. 11 reale. 



Un modello, o tipo geometrico, di spazio projettivo ordinario si può sempre 

 costruire — ad es. sul fondamento dell'ordinario spazio Euclidiano o Lobacefskiano 

 e con null'altro sussidio che della Geom. a elementare — mediante opportune esten- 

 sioni dei concetti di punto, retta e piano (introducendo elementi impropri, ecc.): 

 ma si può ancora, tenendo il cammino inverso, definire per postulati la varietà 

 lineare reale da tre dimensioni indipendentemente da qualsivoglia preconcetto geo- 

 metrico — siccome apparisce evidente già dalla * Geometrie der Lage „, ed è pro- 

 vato anche meglio da più moderne elaborazioni di questa scienza — e poscia ottenere 

 dentro una varietà così fatta, mediante opportune restrizioni nei concetti di punto 

 proj. e retta proj. a , gli ordinari spazi Euclidiani e non-Euclidiani, e le corrispon- 

 denti geometrie metrico-projettive. Non molto dissimile è il caso delle varietà lineari 

 complesse. Una volta concessa e stabilita la Geom. a Proj. a reale, si definiscono — 

 senza bisogno d'alcun nuovo principio deduttivo — il punto immaginario, il 

 piano immaginario e la retta immaginaria di l a specie, in qualità di 

 coppie costituite ciascuna di un'involuzione ellittica ordinaria, presa insieme 

 con uno dei sensi della forma involutoria; e per egual modo anche la retta im- 

 maginaria di 2 a specie (*): indilo spazio proj. complesso da tre dimensioni 



(*) Cioè come " involuzione rigata ellittica di spazio, pi-esa insieme con uno dei due 

 sensi che spettano alla congruenza lineare dei suoi raggi doppi „. — Staudt dimostra (B. s. 

 G. d. L., n. 114) che date a piacere tre rette doppie p, q, r (o raggi direttori) di un'involu- 

 zione rigata ellittica tf; e presi nella p i punti A, B, C, nella q i punti D, E, F, per modo che i 



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 sensi ABC, DEF siano uguali rispetto alla retta r (Ivi, n. 52); questi sensi risultano eguali 



eziandio rispetto a qualunque altro raggio direttore di J: onde si potrà dire opportuna- 

 mente, che siano uguali fra loro " rispetto all'involuzione J „ , o rispetto alla congruenza 

 lineare ellittica de' suoi raggi doppi. Ora, se abc..., def... sian due rigate quadriche tali, che 

 le direttrici dell'una e dell'altra spettino in qualità di rette doppie ad una stessa involuzione 



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 rigata ellittica J, i sensi abc e def inerenti a quelle due schiere rigate potranno dirsi " eguali, 



o contrari, fra loro rispetto ad <T „ (o rispetto alla congruenza lineare dei raggi doppi) secondo 



che siano eguali o contrari, di fronte all'involuz. stessa, i due sensi ABC, DEF, che le due terne 

 di rette abc e def impongono a due generatrici arbitrarie p e q delle loro schiere trasversali. 

 Per ultimo su ciascuna delle infinite schiere rigate, che al modo stesso di abc... e def... spettano 

 all'involuz. rigata ellittica J (tali insomma, che le loro schiere trasversali sian tutte di raggi doppi) 



potremo considerare quel verso, ch'è uguale al verso abc rispetto ad <T. Otterremo una classe di 

 sensi tutti eguali fra loro rispetto ad J; e a questo nuovo ente potremo dar, se ci piace, il nome 

 di " senso dell 'involuz. J „ : onde verremo a concludere , che qualunque involuz." rigata ellittica di 

 spazio possiede due sensi, o versi, opposti. E per " senso di una congruenza lineare 

 ellittica „ si potrà intendere: " classe di tutti i sensi eguali fra loro rispetto alla congruenza, che 

 possono aversi sulle rigate quadriche trasversali, od associate, alla congruenza „. — Ecc., ecc. 



