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(e, proseguendo, anche le varietà lineari complesse da quante si vogliano dimensioni). 

 È questo il processo dei Beitràge zur Geom. der Lage. Ma noi vogliamo tentar 

 l'altra via, che il paragone con lo sviluppo storico della Geometria Proj. a reale ci 

 consiglia di prendere; e che, a quanto si sappia, non fu mai percorsa da alcuno. 



Si procederà da tre nozioni primitive, o dogmatiche: il " punto proj." com- 

 plesso „, la " congiungente due punti complessi distinti „, o allineamento fra punti, e la 

 " catena di tre punti collineari e distinti „, o concatenamento fra punti; che verranno 

 definite man mano implicitamente da una serie di proposiz.' primitive o postil- 

 lati della Geometria Projettiva complessa (trenta di numero): per mezzo dei quali 

 stabiliremo su nuove basi, e in forma rigorosamente deduttiva, quel tanto che può 

 aversi per contenuto essenziale o nòcciolo dei Beit. z'Geom. d. Lage (escluse cioè sola- 

 mente le proposiz. 1 che contemplano forme quadratiche, cubiche e biquadratiche) e 

 qualcos'altro ancora — come ad es. le antiprojettività dei sigg. Iuel e Segre (*), i 

 fatti principali intorno alle zone, che una catena di punti determina sulla retta in cui 

 giace ; i primi elementi della Geometria iperspaziale, ecc. 



In un precedente lavoro su " I -princìpi della Geom. & dì Posiz. e composti in sistema 

 logico-deduttivo „ (nelle " Memorie dell'Accad. d. Se. di Torino „, XLVIII 2 , 1897-98) 



— al quale dovrò riferirmi assai spesso, e che mi farò lecito richiamare col segno 9 — 

 e più tardi nella Nota " Circa il teorema fondamentale di Staudt e i principi della 

 Geom." Projettiva „ (" Atti dell'Acc. d. Se. di Torino „, XXXIX, 1904) si proposero a 

 fondamento della Geom. a Proj. a reale due nozioni primordiali — il punto proj." (reale) 

 e la congiungente due punti proj. distinti — con un corredo di proposiz. 1 primitive 

 (diciassette o diciotto) sufficienti a produrre deduttivamente la nozione di spazio 

 proj. (reale) da quante si vogliano dimens. ni e le sue proprietà cardinali. Ora 



— sia convenienza e bontà di metodo, o sia in grazia a una certa conformità di 

 vedute e d'intenti — certo è che il contenuto di codesti due Saggi (con lievi modi- 

 ficazioni verbali) si adatta al nuovo sistema che qui si offre, molto più e meglio di 

 quanto farebbe presumere l'analogia dei soggetti: bastando legger dovunque punto 

 complesso e retta complessa invece di punto proj. e retta proj . a ; ed enunciar 

 le relazioni segmentarie od armoniche non già sui punti (reali) d'una retta 

 proj. a , bensì nei punti (complessi) d'una catena. Onde nulla sarà da innovare in 

 quei Principi, per poterli accettare ed usufruirne anche qui, nel più largo significato 

 che ora abbiam detto. I postulati e le principali definiz. di 6 verranno riprodotti, 

 così come stanno, anche qui. Altri ne occorreranno circa l'ente catena, i quali non 

 hanno riscontro nella Geom. a proj. a reale; ne ciò dovrà far meraviglia, se si riflette, 

 che anche questa ha bisogno alla sua volta di postulare dei fatti (per es. circa i 

 gruppi armonici) che nell'indirizzo elementare di Steiner e Chasles sono invece 

 perfettamente dimostrabili. 



Dalla classe dei punti di un dato spazio proj. complesso scegliendo, in qualità 

 di assoluto reale, una certa varietà iperalgebrica (una catena doppia, tripla, ... 

 secondo le denominaz. 1 del Segre) si offrirà da un nuovo punto di vista tutta quanta 



(*) Iuel, Uéber einige G-rundgebilde der proj. Geom'., " Acta Mathem. „, XIV. — C. Segre, Un 

 nuovo campo di ricerche geometriche, " Atti dell'Accad. d. Scienze di Torino „, XXV. 



