NUOVI PRINCIPII DI GEOMETRIA PROIETTIVA COMPLESSA 195 



prj. complessa „ non è altro che la " classe di tutte le congiungenti possi- 

 bili „ (9 : P15 § 2). — Due rette complesse coincidono (cioè si confondono in una 

 sola e medesima retta) se hanno due punti distinti a comune (6:P25 § 1): ecc., ecc. 

 Ogni qual volta sian dati una figura f (vale a dire una classe, o aggregato 

 qualsiasi di punti complessi) e un punto complesso o, resta individuata una 

 nuova figura — la "visuale di f da o „ — luogo di tutti i punti complessi, 

 che stanno sulle varie congiungenti il punto o coi singoli punti di f diversi da o. 

 Ora, se f è una retta complessa ed o un punto esterno alla medesima, la 

 visuale di f da o sarà un piano proj. complesso (per definiz. ne ): e, ove si con- 

 ceda il seguente: 



D & 1 - 



POSTULATO IX. 



" Se a, b, e sono punti complessi non allineati, e inoltre a' è un b e diverso 

 da è e da e, V un ac diverso da « e da e; allora le congiungenti a 

 con «' e b con V necessariamente s'incontrano (*) „, 

 si può altresì dimostrare (come in 0) che tre punti a, b, e non collineari indivi- 

 duano a quella maniera un solo e medesimo piano complesso — il piano abe 

 (G:P13, 14 § 3) — che due piani complessi aventi a comune tre punti non col- 

 lineari sono obbligati a coincidere (6, P19§3); che una retta complessa, la quale 

 abbia due punti distinti a comune con un piano complesso, giace tutta in questo 

 piano (9, P20§3); che due rette proj. complesse giacenti in un medesimo piano 

 proj. complesso necessariamente s'incontrano (9, §21 §3); ecc., ecc. 



Defn. l a . " Posto che n sia un numero intero positivo , il nome di " spazio proj. 

 complesso da n dimensioni „ — o di " S n complesso „ — spetta a qua- 

 lunque figura x, per cui si possa trovare uno spazio proj. complesso y da n — 1 

 dimensioni e un punto o fuori di y tali, che x coincida con la visuale di y da o „ . 

 Questa defnz. e induttiva — supposto noto lo " spazio prj. complesso da 

 zero dimensioni „, cioè YS complesso (e sarà un S la classe dei punti coin- 

 cidenti in un solo e medesimo punto complesso, comunque dato) — ne determina 

 pienamente il valore del termine " S n complesso „ per qualsivoglia numero 

 intero positivo n : poi che fornisce di seguito il significato dell' S^ complesso (retta 

 prj. complessa), dell'S^ complesso (piano prj. complesso), dell'S 3 complesso, ...fino 

 a quel numero finito n che più ci piace (**). 



L'esistenza di qualche S n complesso per ogni valore di n (maggiore dell'unità) 

 non deriva dalle premesse I-IX; ma sì dal seguente: 



POSTULATO X. 



" Se n è un numero intero positivo, e a è un S n complesso, esiste 

 sempre almeno un punto proj. complesso, che non appartiene a o. „ 



Dai principi I-II si deduce l'esistenza di almeno una retta prj. complessa: 



(*) Al quale potrebbe anche darsi quest'altra forma: " Se a, 6, e son punti complessi non alli- 

 neati, ogni retta che incontri le due congiungenti ab e bc senza contenere alcuno degli a, b, e dovrà 

 tagliare eziandio la congiungente ca „. 



(**) Invece di 'spazio projettivo „ diremo talvolta " spazio lineare „, o anche " varietà lineare „, 

 come pure spazio " di n m °- specie „ anzi che * da n dimensioni „. 



