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dopo di che dal pstl. X e dall'anzidetta defnz. dell'S,, complesso si trae succes- 

 sivamente eh' esiston piani prj. complessi, e spazi proj. complessi di 3 a , 

 4 a , . . . r a specie, per qualunque valore (finito) del numero intero positivo r. 



Una volta concesso il principio X, la classe di tutti i punti prj. complessi 

 che esistono si può chiamare (col prof. Veronese) ambiente, o spazio (prj. com- 

 plesso) generale. 



Teor. 1°. " La retta che unisce due punti dati a piacere in uno spazio prj. complesso 

 (purché distinti fra loro) giacerà tutta in questo. „ [Poiché il fatto è vero per 

 Ì'S 2 complesso (9, P20 § 3), basta provare che, se avrà luogo neir$„_i, dovrà 

 eziandio verificarsi nell'#„ {n intero positivo). Siano dunque 0" n un S n complesso, 

 a e b due punti di cr non coincidenti fra loro. Per ipotesi esiste un S n _ l — e 

 sia p. es. p,,..! — che ha per visuale da un certo punto esterno — sia p. es. o 

 — il dato spazio o" (Def. 1). Inoltre — per la dfnz. e di visuale (G, PI § 3) — 

 in p„_! vi saranno al certo due punti a' e b' tali, che a e b giacciano rispettiv. 6 

 sulle due projettanti oa', db'. Osservate che, ove gli a' e b' sian distinti fra 

 loro, per certo non saranno allineati con o. Ora, se a' = b', la data retta ab 

 coinciderà con la projettante oa' (0, P25 § 1), giacendo perciò nella visuale di p 

 da o. E se per l' opposto i punti a' e b' saranno distinti l'uno dall' altro, la 

 retta a'b' giacerà tutta in p„_! per il supposto induttivo ; dunque tutto il 

 piano oa'b' — visuale di a'b' da o — giacerà in o" n , e con esso anche la retta ab 

 che gli appartiene]. 



Teor. 2°. " n-\-l punti complessi dati a piacere, coesistono sempre in qualche spazio 

 lineare complesso da n dimens. 1 „ [Da n — 1 ad n; in virtù del princ. X e 

 della Defn. l a .] 



Defn. 2 a . "n-f 1 punti complessi son linearmente indipendenti, allorché non 

 esiste un $„_! complesso, che li contenga tutti ad un tempo; linearmente asso- 

 ciati, se per contrario essi giacciono tutti in un medesimo spazio lineare com- 

 plesso da meno che n dimensioni. „ 



Teor. 3°. " Se più punti complessi, in numero finito, sono linearmente indipen- 

 denti, il simile accade di ogni lor gruppo parziale. „ [Invero se, p. es., gli n-\-l 

 punti a, b, e, ... k, l essendo linearmente indipendenti, gli n punti a, b, e, ... k 

 fosser linearmente associati, esisterebbe un S , n _ 2 passante per questi n punti (Dfn. 2): 

 il quale, per projezione da l, ne darebbe un S n _i includente a, b, e, ... k, £.] 



Teor. 4°. " Dati a piacere n-\-l punti complessi linearmente indipendenti a u a 2 , a 3 , ... 

 a», «a+i esiste un solo spazio proj. complesso da n dimensioni che li contiene 

 tutti ad un tempo — e questo è il loro spazio congiungente a x a 2 . . . a n+l „ 

 [Anche qui si può dar come noto il teorema per n = 1, 2 (9, §§ 1, 3): ond'esso 

 verrà dimostrato in generale, se proveremo, che dalla sua verità quando al posto 

 di n si legga n — : 1, od n — 2, od n- — 3, ... nasce che debba esser vero eziandio 

 per il numero successivo ad n — 1, vale a dire per n. Sia dunque vero in ordine 

 a ciascun gruppo di (n — 1) — J— 1 punti complessi linearmente indipendenti — 

 quali ad es. a 1: a 2 , a 3 , ... a n , e a 2 , a 3 , ... a n , a n+1 (Teor. 3°) — e di (n — 2)-)-l punti 

 linearmente indipendenti, quali ad es. a 2 , a 3 , ... a n ; etc. 



