NUOVI PEINCIPII DI GEOMETKIA PKOJETTIVA COMPLESSA 197 



a) Proveremo anzitutto che, projettando da «!, o da «j, ... o da «„ +1 lo spazio 

 da n — 1 dimensioni, che resta individuato dai rimanenti n punti, si ottiene per 

 visuale un solo e medesimo spazio da n dimensioni. Sia per es. p un punto qual- 

 sivoglia dello spazio (a 1 a 2 ...a n )a„ +1 , visuale di a 1 a 2 ...a„ da a n+l ; e p' la sua 

 projezione in a t a 2 ...a n da a n+1 . Questo a 1 a 2 ...a n coinciderà , per ipotesi, con la 

 visuale di a 2 a s ...a n da a ± : sicché nello spazio a 2 a 3 ...a n ci dovrà essere una proje- 

 zione del punto p' da a x — e sia p" . La retta a„ +ì p" giacerà nello spazio da n — 1 

 dimensioni a 2 a 3 ...a n+u visuale di a 2 a 3 ...a n da a, 1+1 ; e p. cons. il piano a 1 a„ +l p" — 

 come visuale della retta a n+1 p" da a t — giacerà per intero nella visuale di a 2 a 3 ...a n+ i 

 da «!. Dunque il punto p — in quanto appartiene ad axa n+1 p" — dovrà giacere 

 eziandio nello spazio da n dimensioni ai(a 2 a 3 ...a n+ i), visuale di a 2 a 3 ...«„ +1 da a x . 

 Per egual modo (e cioè col semplice scambio dei punti a n+l ed a^ si deduce, che 

 ciascun punto di a 1 (a 2 a 3 ...a„ +I ) deve altresì appartenere ad (a 1 a 2 « 3 ...a„)a n+1 : sicché 

 questi due spazi da n dimensioni coincideranno in un solo e medesimo spazio 

 « 1 a 2 a 3 ...a„ +l , ecc. — Ora, dal momento che le w-j-1 visuali a 1 (a 2 a 3 ...a n+1 ),a 2 (a 1 a 3 ...a n+l ), 

 ..., (a 1 a 2 a 3 ...a„)a„ +1 si confondono tutte in una sola e medesima figura, questa 

 potremo indicarla con una permutazione arbitraria delle n -{- 1 lettere 

 «i, a 2 , a 3ì a n , a n ^. 



t>) In secondo luogo — e sotto la stessa ipotesi, che m punti linearmente indipen- 

 denti con m<n non posson giacere in due diversi S m _i — si proverà che, dati 

 ad libitum entro lo spazio da n dimensioni a 1 a 2 a 3 ...a n+1 più punti linearmente 

 indipendenti b u b 2 , b 3l ... b m , b m+l , in numero di m -f- 1 con m<n, lo spazio prj. 

 da m dimensioni b 1 b 2 b 3 ...b m b m+ì che li congiunge fra loro (e si ottiene projettando 

 da uno qualunque di essi l'S' m _ 1 individuato dai rimanenti) deve giacer per intero 

 in a 1 a 2 a 3 ...a„ + i. Già sappiamo che il fatto è vero per m=l (Tr. 1°). Basta dunque 

 veder se sussiste in ordine ai punti b u b 2 , b 3 , ... b m+1 , dato che sia vero per 

 b 2 , b 3 , ... b m+ì . Ora, preso un punto p a piacere in b 1 (b 2 b 3 ...b m b m+l ) — che è quanto 

 dire in 6 1 è 2 6 3 ...6 m 6 m+) — dovrà esistere in b 2 b 3 ...b m+l un punto p', tale che p stia 

 sulla retta b x p' . Ma, per ipotesi, lo spazio (da m — 1 dimensioni) b 2 b 3 ...b m+1 è 

 tutto contenuto in a 1 a 2 a 3 ...a n+1 : dunque il punto p' giace, al pari di b lt in 

 « 1 a 2 a s ...a B+1 ; dunque la retta b } p' (Teor. 1°), e p. cons. anche il punto p, giacerà 

 nello spazio a 1 a 2 a 3 ...a n+l ; sicché questo dovrà contenere ogni punto di b l b 2 b 3 ...b m+x . 



c) In terzo luogo si dimostra che, se gli anzidetti punti b sono precisamente 

 in numero di n -f- 1 (e cioè se m = n) i due spazi prj. complessi da n dimen- 

 sioni a 1 a 2 ...a„^. l e 6 1 è 2 ...è n+1 coincideranno in uno solo. Già si sa da b), che ogni 

 punto di è 1 6 2 ...ò„ +1 spetta eziandio ad a 1 a 2 ...a n+l : resta sol da vedere che, al pre- 

 sente, lo spazio a l a 2 ...a n+ x è contenuto dall'altro b 1 b 2 ...b n+1 . 

 Si può conceder che ognuno degli n gruppi (b t , a 2 , a 3 , a±, ... a n , a n+1 ), (b u b 2 , a s , 



a it ... a n , a„ +1 ), (b u b 2 , b 3 , a it ... a n , a n+1 ), (b lf b 2 , b 3 , b A , ... b n _i, a n , a^), (b 1: b 2ì b s , ... 



^n-i, b n , a n+1 ) sia composto di n -f- 1 punti linearmente indipendenti. Invero uno 

 almeno fra i punti b u b 2 , b 3 . ... è„ +1 — e sia per es. b x — dovrà cader fuori dello 

 spazio da n — 1 dimensioni a 2 a 3 ...a n+ì ; se no i punti b u b 2 , b 3 , ... b n+ì sarebber 

 linearmente associati, contro l'ipotesi: dunque i punti b u a 2 , a 3 , ... a n , a n+l non 

 posson giacer tutti quanti entro un medesimo £„_! ; visto che, per ipotesi, non 



