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c'è che un solo spazio da n — 1 dimens.', il quale contenga gli n punti a 2 , a 3 , ... 

 a„, a n+1 — e questo è lo spazio a 2 a s ...a„a„ +l . Appresso, uno almeno fra i punti 

 b 2 , b 3 , ... b,„ b n+l — per es. b 2 — non giacerà nello spazio da n — 1 dimensioni 

 b 1 a 3 a i ...a n a n+ i: e per cons. anche i punti b 1 ,b 2 ,a 3 ,a i ,...a n ,a n+1 son linearmente 

 indipendenti. Similmente lo spazio da n — 1 dimens. 1 & 1 ò 2 a 4 ...a, ! a,.+i dovrà escluder 

 qualcuno dei punti b B , b it b n , b n+l — per es. il punto b 3 — sicché i punti b u b 2 , 

 b 3 , « 4 , ... a n , a n+ì saranno eziandio lineami. indipendenti: e così via (Si lascia 

 al Lettore il concluder questo- raziocinio, a tenor del principio d'induzione 

 completa: e così anche in proposito dell'argomentazione seguente). 



Ora si osservi, che da peqrs...t si deduce qeprs...t: sempre che q,r,s,...t e 

 p, r, s, ... t siano gruppi di n-\~ 1 punti linearmente indipendenti. Infatti, da 

 p'ers...t e pzqp' nasce qepp' (pstl. VII etc). Di. qui e da a), b) procedono, l'una 

 appresso dell'altra, le relazioni seguenti: 



a 1 eb 1 a 2 a 3 .,.a n a n+1 , a l a 2 a 3 ...a n a n+ ^b l a 2 a 3 ...a n a n+x , 

 b 2 eb 1 a 2 a 3 ...a, l a n+l , b 2 e.a 2 b 1 a 3 ...a„a n+1 , a 2 eè 2 è 1 a 3 ...fl„a n+1 , 

 a 2 b 1 a 3 ...a n a n+1 ob 2 b 1 a 3 ...a n a„ +ì , a 1 a 2 a 3 ...a n a n+l Qb 2 b 1 a 3 ...a„a n+l , 

 b 3 e b 2 b x a 3 ... a n a n+1 , b 3 e a 3 b 2 \a±... a„a n+n , a 3 e b^^a^ ... a n a n+l , 

 a 3 b 2 b 1 a i ...a n a n+i ^b 3 b 2 b 1 a i ...a n a n+h a l a 2 a 3 ...a n a„_ H Qb 3 b 2 b 1 a i ...a n a n + l , 



finche si giunge alla 



(7!« 2 « 3 ... a n a n+1 b„+ibj>n-i - 63M1 ; 



il che volevasi appunto dimostrare in e). 



Infine poniamo che esista un S n complesso — e sia per es. o"„ — diverso 

 da a 1 a 2 a 3 ...a n+l , ma come questo includente gli re + 1 punti a lf a 2 , a 3 , ... e a n+1 . 

 Allora esiste (Dfn. l a ) una serie di spazi lineari a n ^ l ,o n _ 2 , ... o" 3 , o" 2 , a 1 (da n — 1, 

 n — 2, ... 3, 2, 1 dimensioni rispettivam. e ) e di punti c„ +1 , c„, . . . c 4 , c 3 rispettiv. 6 

 esclusi da questi; per modo che O n sia la visuale di o"„_! da c n+ì (ff n = c n+1 o* n _i), 

 e similmente o"„_, = c„o"„_ 2 , ... a 3 —c i G 2 , a 2 ^c 3 a 1 ; ed esistono ancora due punti 

 distinti c 2 ,c t tali, che 1 =c 2 c 1 . Anzi è chiaro, che gli h-{-l punti c u c 2 ,...c h ,c h j ri 

 — qualunque sia l'indice h, purché non maggiore di n — n'esciranno linear- 

 mente indipendenti fra loro, se così sono i c u c 2 , ... c h ; se no giacerebbero in 

 un S h _ l: il quale dovrebbe coincider con o" ft _i (per il supposto induttivo) lad- 

 dove c h+l è esterno a Gh-i- Dunque c t , c 2 , c 3 , . . . c n+l linearmente indipendenti, 

 perchè così sono c l e c 2 ; ed inoltre o 2 = c 1 c 2 c 3 , ... G h -= c 1 c 2 c 3 ...c h c h+ i, ..., e 

 o" n = e 1 c 2 c 3 ...c n c n+ i, grazie ad a). Onde avremmo, per quanto abbiam visto in e), 

 0"„ = a x a 2 a s ...a n+u e questo è contradittorio.]. 



Una volta stabilito questo teorema fondamentale, il ragionamento b) prova 

 eziandio che: 



Teor. 5°. " Lo spazio proj. complesso, il quale congiunge fra loro più punti linear- 

 mente indipend.' di un dato S n complesso, giacerà tutto in questo. „ — E di qui 

 facilmente il 



