11 NUOVI PRINCIPII DI GEOMETRIA PKOJETTIVA COMPLESSA 199 



Teor. 6°. * Se due spazi proj. complessi hanno punti a comune, il luogo di questi è 

 necessariam. te una varietà lineare. „ — La seguente prpsiz. è altresì corol- 

 lario del Trm. 4°. 



Teor. 7°. " In qualsivoglia spazio prj. complesso o" n da n dimens. esiston per certo 

 m+1 punti lineami. 8 indipendenti a lt a 2 , a 3 , ... a„ +1 (di guisa che cr n possa aversi 

 come spazio congiungente di questi: cf„ = a 1 a 2 a 3 ... a„ +l ). „ [Posto ch'esistano 

 n punti linearmente indipendenti a lt a%, ... a n nell'S 1 ^, da cui o"„ deriva per proje- 

 zione da un punto esterno a n+l (Dfn. 1), questi n -f- 1 punti di o" non potranno 

 giacer tutti quanti in un medesimo $„_! : atteso che un tale spazio (ove esistesse) 

 dovrebbe coincider con a 1 a 2 ...a n , grazie al Tr. 4°. D'altra parte in qualsivoglia S t 

 giacciono almeno due punti distinti. Ecc.]. 



Dfn. 3\ " Gli spazi proj. complessi da n — 1 dimens. 1 contenuti in un dato S n com- 

 plesso o"„, si chiaman per solito (qualunque sia n) " iper piani prj. di o"„. „ 



Teor. 8°. " In qualsivoglia spazio lineare complesso (Dfn. l a ), ciascuna retta è 

 tagliata in un punto da qualunque iper piano (Dfn. 3 a ) che non la contenga. „ 

 [Il dato ambiente lineare complesso da n dimensioni sia per es. o"„: ciascun 

 iperpiano di questo potrà supporsi individuato da n punti linearmente indipendenti 

 — siano per es. a,b,c, ... li, k (Tr. 4, 7) — e ciascuna retta da due punti 

 distinti l, m; il tutto in o"„. Ora, se uno almeno dei punti l, m giacerà nell'iper- 

 piano abc ... hk, la tesi è vera senz'altro. Se all' incontro ognuno dei punti l, m 

 sarà esterno a quell'iperpiano, gli n -\- l punti a,b,c, ...h,k,l saranno per certo 

 lineami. 6 indipend. 1 , e abc...hkl = G n (Tr. 4°). Dunque il punto in appartiene alla 

 visuale di abc. .Me da l (Ivi): e ciò equivale ad affermar l'esistenza di un punto m' 

 comune al detto iperpiano abc.hk ed alla retta lm.] — Di qui si trae facil- 

 mente che: 



Teor. 9°. " In un qualsivoglia S n complesso , ciascun S m — se l<m<n — sarà 

 tagliato secondo un S m _ z da qualunque iperpiano che non lo contenga intera- 

 mente. „ 



Teor. 10°. " Essendo ancora n, m numeri interi positivi, e supposto m<n, due spazi 

 lineari complessi di wt a ed (n — ?w) a specie, coesistenti in un medesimo ambiente 

 lineare complesso da n dimens.', avranno sempre almeno un punto a comune. „ 

 [Siano a m e f5„_ m i due spazi, e o" n lo spazio ambiente. Posto che sia vero il 

 teorema entro un 8^_ x qualsivoglia ; costruiscasi in o" n un iperpiano (Dfn. 3 a ) u) n _!, 

 il quale contenga a m : ciò che è sempre possibile, ad esempio per projezioni 

 successive (giusta la Dfn. l a ) a partire da ct ro e da un punto di o„ esterno 

 ad ct m — punto ch'esisterà senza fallo, dal momento che esiste in o*„ un qualche 

 gruppo di n -f- 1 punti linearmente indip.' (Tr. 7), ecc. Grazie al teor. a preced. e , 

 gli spazi j3„_„, ed uu,,^ avranno per lo meno un S n _ m _ x a comune: il quale, gia- 

 cendo con a m in un medesimo S„_ lt dovrà, per l'ipotesi fatta, incontrare a m in 

 un punto almeno. Or questo punto sarà dunque comune agli spazi a m e f5„_ m . Il 

 teor. è vero pertanto in o"„, se è vero in o)„_ t (cioè mutato n in n — 1). Ma esso 

 è vero in qualsivoglia S 2 , od S 3 , grazie al Tr. 8 : laonde, ecc., ecc.]. 



