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Teor. 11°. " Due spazi prj. complessi a r , B s — l'uno da r e l'altro da s dimens.' — 

 i quali non abbian nessun punto a comune, giacciono sempre in un medesimo 

 spazio prj. complesso da r + s-f-1 dimens.': e non possono esistere due diversi 

 S r+S+Ì , ne uno spazio prj. da men che r-f-s-j-1 dimens.', capaci di contener 

 l'uno e l'altro. „ [In primo luogo è chiaro — grazie al teor. prec. te — che i due 

 spazi a r e B s non potranno coesistere dentro un medesimo S r+ , ; e quindi (a for- 

 tiori, dato il principio X) nemmeno dentro un medesimo S r+S _i: ecc. Ora — presi 

 in a r gli r-\-l punti lineami. e indipend.' a ,a 1 ,a 2 ,...a„ di guisa che a r =a a 1 a 2 ...a r 

 (Tr. 4, 7), e posto similmente $ s = b b ì b ì ...b s — gli r-\-s-\-2 punti complessi 

 a , «i, ... a r , b ,b lt ...b s saranno al certo linearmente indipend.', seno giacerebbero 

 tutti in un S T+S contenente a e B (Dfn. 2 a e Tr. 5): ecc. Per mezzo degli spazi a r 

 e B s è dunque individuato un S r+s+ i che li contiene ambedue (e cioè lo spazio 

 a a 1 ...a T b b 1 ...b r ); in maniera che nessun altro spazio prj. di quella specie, 

 o di specie inferiore può contenerli ambedue]. 



In virtù del pstl. X, essendo dati a piacere due spazi lineari complessi a r e B s 

 — aventi, o no, punti a comune — esistono sempre spazi proj. complessi di 

 specie arbitraria, purché superiore ad un certo limite, che contengono a, e B s . 

 Invero, presi a piacere in a r i punti linearm. te indipend.' a ,a 1 ,...a„ e così in B s i 

 punti b Q , & lf ...b s ; allora, se gli r-f-s+2 punti a e b saranno linearmi 6 indip.' 

 fra loro, ne individueranno (Tr. 4°) un S T+s+l contenente a,, e 6 S (Tr. 5°). E se, 

 per l'opposto, quei punti a e b saranno linearmente associati — la qual cosa 

 è necessario che avvenga (come tosto vedremo) ogni qualvolta gli spazi <x r e B s 

 s'incontrano — esisterà nondimeno uno spazio lineare minimo che li con- 

 tiene, benché di specie inferiore ad r -f- s + 1. — Fra tutti gli spazi prj., che 

 contengono due dati spazi lineari a r e B s , ha speciale importanza quello di specie 

 o dimensione minima — spazio determinato ed unico, grazie al Tr. 6° — e 

 che può chiamarsi " spazio congiungente a e B „. E questa definiz. e può subito 

 estendersi a più di due spazi. — Allorquando una figura giace, con tutti i 

 suoi punti, in qualche spazio lineare complesso, la si può dire immersa nello 

 spazio lineare, che ha la minima dimensione possibile, fra tutti quelli 

 che la contengono (spazio d'immersione; determinato dalla figura ed unico, come 

 subito si vede). 



Teor. 12°. " Dato che a r e B s siano spazi lineari complessi da r ed s dimensioni; se 

 indichiamo con t la dimensione del massimo spazio lineare contenuto in 

 entrambi (spazio d'intersezione, o prodotto logico di a r e B s ) e con t' la dimen- 

 sione del minimo spazio lineare che li contiene entrambi (spazio congiun- 

 gente a e B, o spazio di coimmersione), sarà sempre: 



r -f- s = t + 1' ; 



purché si legga — 1 al posto di t, qualora i due spazi a r e B s non abbian punti 

 comuni. „ [Siano y< e o,. i due spazi lineari d'intersezione e d'immersione ; e sup- 

 poniamo dapprima che esistano punti comuni ad a r e B s (onde t>0), ma che nes- 



