13 NUOVI PKINCIPII DI GEOMETRIA PROJETTIVA COMPLESSA 201 



suno degli a, e (3 S sia contenuto dall'altro (onde r>t ed s>t). Facilmente si vede, 

 che sarà lecito porre ad un tempo: 



T; = c CiC 2 ...C(, a,. = c c 1 c 2 ...c l a w a, +2 ...a r , S = c c 1 c 2 ...c t b, +1 b, +2 ...b s 



dove le lettere e ed a denotano r -j- 1 punti linearmente indipend.' scelti in 

 maniera, che t-\-l di essi — e precisami i punti e — giacciano in f t ; e simil- 

 mente gli s -4- 1 punti e e b siano atti a individuar (3„ come loro spazio congiun- 

 gente (Tr. 4° e 7°). Invero, dopo avere assegnato in y, i punti e, dovrà esistere 

 in a,, un qualche punto — sia p. es. a, +ì — esterno a Ti: visto che in a r esistono 

 sempre r-\-l punti linearm. e indipend.', e che r>t. Ora i t-\-2 punti c ,c l ,...c i ,a t+l 

 son linearmi indipend.'; perchè (Tr. 4) non può esistere spazio prj. da t dimens.' 1 , 

 che li contenga tutti, e sia diverso da c c 1 ,..c l : per la qual cosa, se r = t-\-l, 

 lo spazio c c y ...c,a t+l coinciderà con lo spazio a r . E se r>t-\~l, si può argomentar 

 sullo spazio da t-\-l dimens.' c c 1 ...c l a t+1 , come dianzi a proposito di c c 1 ...c t : 

 fino a che — dopo aver successivam. e introdotto gli r — t punti a t+ i, a t+2 , ... a r — 

 si giunge allo spazio c c 1 ...c,a l+l a l+ 2-.-a r coincidente con a,.. Il simile dicasi per f3 s . 



Ciò premesso, se accadrà che i punti a, b, e, che sono in numero di r-\-s— t-\~l, 

 siano linearmente indipend.', bisognerà che il loro spazio congiungente, da r-j-s — t 

 dimensioni, coincida con lo spazio ò,,: visto che allora non potrà darsi uno spazio 

 lineare da men che r-\-s — t dimen.' contenente a e f5. E se per contro i punti 

 a, b, e saranno linearmente associati, esisteranno anche spazi proj. da men che 

 r -4- s — t dimensioni che li contengono, e passano per a e {$ (Tr. 5) : sicché in 

 ogni caso: i'<r-f-s — t. Ne viene che i due spazi lineari (da t ed r — t — 1 dimen- 

 sioni) c c i-" c < e d «< + i«i + 2...«r — certamente coimmersi in a r — non potranno 

 incontrarsi: perchè, se avesser comune uno spazio prj. da x dimensioni, con #>0 

 (Tr. 6), soggiacerebbero anch'essi a codesta diseguaglianza; la quale — posto 

 r, t, r — t — 1 ed x in luogo di t', r, s, t — ne porgerebbe x< — 1: assurdo. Ma, 

 se lo spazio a t+l a l+1 ...a r non incontra f t = c c 1 ...c l , non potrà nemmeno incon- 

 trare p, ; visto che i punti comuni ad a t+1 a (+2 ...a, eap, — quindi comuni ad a,, 

 e ft, — giacciono tutti in Yj per ipotesi. D'altra parte gli spazi a, +1 « (+ ,...a r e {5 S 

 giacciono, sì l'un come l'altro, in ò (r : per la qual cosa — giusta il Tr. 10° — 

 bisognerà che la somma r — t — 1 + s delle lor dimensioni sia inferiore alla 

 dimensione t' dello spazio ambiente: dunque t'>r — t — 1+s, e p. cons. t'>r — t-\-s. 

 Dal confronto di questo risultato col preced. te t'<r-\-s — t emerge la verità del 

 teorema: atteso che la relazione t' = r-\-s — t, grazie al Tr. 11°, regge anche 

 all'ipotesi che i due spazi a r e p s non s'incontrino affatto, purché si legga — 1 

 al posto di t ; ed è vera eziandio per r = t, ossia quando ot r q f3 s , essendo allora 

 t' = s e t — r]. 



Per mezzo dei pstl. 1 I-X si posson già dimostrare il teorema di Desargues sui 

 triangoli prospettivi od omologici — ved. Staudt, Die Geom. d. Lage, nn. 87, 90 

 — e le prime prpsz.' intorno al quadrangolo piano ed alle coppie armoniche — 

 ivi, § 8. Si dovrà passar sopra il separarsi a vicenda delle coppie d'elementi 

 coniugati nel gruppo armonico; ma, circa il resto, nulla è da mutare o da 

 togliere, pur che si ammetta il seguente: 



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