15 NUOVI PBINCIPII DI GEOMETRIA PROJETTIVA COMPLESSA 203 



POSTULATO XV. 



" Sotto la stessa ipotesi, il punto a appartiene alla catena \abc\. „ 

 E però vi appartengono tutti e tre i punti a, b, e — grazie al Tr. 1°. 



POSTULATO XVI. 



" Dato che a, b, e, d siano punti d'una retta complessa totalmente distinti 

 fra loro, e così pure a',b',c',d'; se esisterà un punto esterno a cia- 

 scuna delle due rette ed allineato su ciascuna delle coppie di 

 punti a e a', b e b', e e e', d e d'\ allora le due proposiz.' " d appar- 

 tiene alla catena | abe | „ e " d' appartiene alla catena | a' Ve' | „ saranno 

 l'una conseguenza dell'altra. „ — Il fatto asserito in questa prpsz. e primitiva 

 si può chiamar " projeitività dell'ente catena „ : in quanto se ne deduce (attra- 

 verso il § 1) che " Per qualsivoglia proiezione d'una retta complessa in un'altra, 

 più punti concatenati si riproducono sempre in punti concatenati, ed ogni 

 catena si specchia in una catena „. Cfr. Staudt, Beitr. z. G. d. L., n. 207. 



POSTULATO XVII. 



" Per ogni terna di punti complessi a, b, e collineari e distinti, 1' " armo- 

 nico dopo a, b, e „ sarà un punto della catena ] abe | . „ Cfr. Staudt, Beitr., 

 nn. 6, 206. — Ne viene, ad es. (grazie al princ. XI) che la catena degli a, b, e 

 dovrà contener senza fallo anche punti diversi dagli a, b, e. E così tutti i punti, 

 che si potranno ottenere per via di successive costruzioni del quarto armonico 

 (§ 1, Dfn. 4 a ) a partire dai punti a, b, e — vale a dire ogni punto della scala 

 a r m onica definita da questi tre punti — spetteranno alla catena | abe \ . 



POSTULATI XVIII e XIX. 



" Dall'essere a,b,c punti collineari e l'un l'altro distinti, poscia d un 

 punto della catena \abc\ diverso da ognuno degli a, b, e; si deduce 

 che e appartiene alla catena | abd \ , e che questa è contenuta dalla 



catena | abe \ . „ 



Il pstl. XVIII esprime — con l'aiuto dei preced.' XIII e XIV — che la rela- 

 zione di concatenamento fra quattro punti è simmetrica rispetto a questi. „ 

 [Invero la condizione de\abc\ n'escirà equivalente alla ce\abd\; e questa (Tr. 1) 

 a ciascuna delle e e | bad | , e e | bda I — che non si distinguono rispettiv. 6 dalle 

 be\adc\, ae\bdc\: ecc.] — Il principio XIX involge la transitività della rela- 

 zione di concatenamento fra punti: cioè fa sussistere il 



Teor. 2°. " Se i punti complessi d, e, f, tutti e tre diversi fra loro , saranno conca- 

 tenati coi punti a, b e e (questi essendo distinti e collineari) — vale a dire se 

 tutti appartengano alla catena | abe \ — qualunque punto concatenato con gli a, 

 b e e sarà eziandio concatenato con d,e,f; e viceversa: insomma le due catene 

 \abc\ e \def\ coincideranno in una sola. „ [Si può conceder, che d sia diverso 

 da ognuno degli a, b, e. Ora dall'Hp. e dal princ. XVIII consegue che ct\abd\ ; 



