204 BIASIO PIERI 16 



onde \abc\3\abd\ — grazie a (if d ) XIX — e per cons. (XIX) |aèc| = |a6rf|; 

 poscia (Tr. 1) \abc\ = \adb\, e,fe\adb\. Uno dei punti e,/" — sia p. es. e — sarà 

 diverso da a: dunque in virtù dell'ipts., e attraverso la sostituzione ($1) in quel 

 che abbiamo teste dimostrato, si deduce | adb | = | ade \ : per la qual cosa (Tr. 1) 

 \abc\ = \ade\ = \dea\, fe\dea\; onde si trae, come dianzi, \dea\ = \def\: dunque 

 \abc\ = \def\, e. v. d.] (*). 



Teor. 3°. " Sotto la stessa Ipts. del Tr. 2°, l'armonico dopo i tre punti d, e, f dovrà 

 appartenere alla catena \abc\ „ [Cosi dal pstl. XVII e dal Tr. 2°]. 



Defin. 1\ " Premesso che a, b, e siano punti complessi allineati fra loro e distintigli 

 uni dagli altri, il " segmento proj. complesso abe „ — rappresentato nel 

 segno " {abe) „ — non è altro che il luogo d'ogni punto complesso x, a cui si 

 può coordinare sulla catena degli a,b,c un qualche punto y diverso da a e 

 da e, per modo che x sia l'Armonico dopo y, Arni (a, c,y) e b (Dfn. 4 § 1 e Tr. 3°). „ 

 — Sotto altra veste : " {abe) „ denota la classe di tutti quei punti complessi, 

 ognuno dei quali è conjugato armonico di b rispetto a due punti della 

 catena |a6c|, armonici l'un l'altro rispetto ad a e e, ma non coincidenti 

 fra loro. Così da G, Pl§5: dove al posto della congiungente (reale) ai leggasi 

 " catena degli a,b,c „. E, salvo questa sostituzione, varranno senz'altro anche 

 qui le prpsz. di 6 § 5. 



Defin. 2 a . Per significare che " un punto complesso d, pur giacendo sulla catena | abe | , 

 non appartenga al segmento (abe), ne coincida con a o con e „ si può adottar 

 l'espressione " sulla catena |ffèc|, i punti b e d son separati per mezzo dei 

 punti a e e „. Onde la locuzione: " sulla catena |aèc|, i punti b e d non sono 

 separati per mezzo dei punti a e e „ starà invece dell' altra : " il punto com- 

 plesso d appartiene al segmento (abe), seppur non cade in uno degli estremi a 

 e e di questo „. In altri termini — data la nostra dfnz. di segmento — due 

 coppie di punti, tutti e quattro concatenati e distinti, si separano o non si 

 separan fra loro, secondo che non esiste, od esiste sulla catena una 

 terza coppia di punti armonicamente conjugati rispetto ad ognuna di 

 quelle. (Le P2, 6, 9, 11 di 6 § 5 mostrano che la relazione del separarsi fra i 

 punti a e e da una parte e i punti b e d dall'altra non è turbata dallo scam- 

 biare fra loro i due punti a e e, o i due punti b e d, o le due coppie (a, e) e (b, d).) 

 Del carattere projettivo inerente alla catena (XVI) ed alla relazione armo- 

 nica (0, PI 5 § 4) partecipa ipso facto il segmento proj. complesso, grazie alla sua 

 . dfnz. ed al Tr. 3°. Ecc. 



POSTULATO XX. 



" Essendo a, b, e punti complessi fra loro distinti e collineari; qualunque 

 punto della catena \abc\ che non appartenga al segmento (abe), né 

 coincida con a o con e, dovrà appartenere al segmento (bea). „ 



(*) Osservate che i due pstl. XVIII e XIX si potrebber, volendo, amalgamare in un solo prin- 

 cipio equivalente al loro prodotto logico : perciò basterebbe (grazie al XV) congiunger l'ipotesi del 

 pstl. XVIII con quest'altra tesi: " la catena [abe] è contenuta dalla catena \àbd\ „. 



