17 NUOVI PRINCTPII DI GEOMETKIA PROIETTIVA COMPLESSA 205 



Ovvero : " Dato che a, b, e, d siano punti concatenati e distinti , se non esiste 

 sulla catena una coppia di punti armonici ad ambo le coppie {a, e) e (b,d), 

 dovrà esister per certo sulla catena una coppia di punti armonici ad ambo 

 le coppie (a, b) e (e, d) „. — È questo il prcpio XV di 6: e con esso pertanto 

 saranno vere le prpsz. 13-20 di 9 § 5 (pur che vi si legga " | abe | „ nel posto di " ab „). 

 Ne viene, ad es., che quel punto d sarà comune ad ambo i segmenti (bea), 

 (cab) (G, P20 § 5). Gol principio seguente — che trovasi pure in 9, come pstl. XVI 

 — ■ si riconosce per vera la prpsz. reciproca di questa, e cioè: 



POSTULATO XXI. 



* Essendo a, b, e punti d'una medesima retta complessa, purché distinti 

 fra loro, se un punto appartenga ad ambo i segmenti (bea) e (cab), 

 non potrà appartenere al segmento (abc). „ 0, in altri termini: " Dato 

 che a, b, e, d siano punti complessi d'una medesima catena, ciascuno diverso dagli 

 altri, se nella catena esiste una coppia di punti armonici rispetto a ciascuna 

 delle due coppie (a, b) e (e, d), e una coppia di punti armonici ad ambo le coppie 

 (b, e) e (a, d), non potrà esister sulla stessa catena una coppia di punti armonici 

 tanto rispetto ad a e e, quanto rispetto a b e d „. 



Le ultime due prpsz.' dicono in somma : Se avvien che le coppie (a, e) e (b, d) 

 si separino a vicenda, non potranno separarsi le coppie (a, b) e (c,d), né le 

 (b, e) e (a, d); e reciprocamente: sicché quattro punti distinti fra loro e con- 

 catenati si posson sempre distribuire in due coppie che si separino a vicenda 

 sulla catena; ma ciò non può farsi che in un sol modo. E cosi resteranno 

 affermate senz'altro, in ordine all'ente catena, le P21-25 di 9 § 5. 



Ma, sul fondamento dei pstl. ammessi fin qui, non par che si possa affermar 

 l'esistenza di infiniti punti sopra ogni catena; né il fatto che questa sia 

 forma chiusa, o rientrante in sé stessa. A ciò sopperisce (come per la retta 

 prj. reale) il principio seguente, che in 9 è pstl. XVII: 



POSTULATO XXII. 



8 Dato che a, b, e siano punti complessi d'una medesima retta, ciascuno 

 diverso dagli altri due, e che d sia un punto diverso da b nel 

 segmento (abc), poscia e un punto del segmento (ade); si conclude 

 che il punto e sta nel segmento (abc). „ Il quale giudizio intorno ai cinque 

 punti a, b, e, d, e si può anche enunciare sotto la forma : " Se (in una catena) i 

 punti a e e non siano separati dai punti b e d, né dai punti d ed e, neppur 

 saranno separati dai punti b ed e „ : e in questo modo apparisce come una pro- 

 prietà transitiva del non-separarsi. — Superfluo il dire, che trattasi 

 ancora di una certa proprietà armonica della catena, vale a dire: Premesso 

 che etc, se vi saranno sulla catena | abc | due punti armonici ad ambo le coppie 

 (a, e) e (b, d), come pure due punti armonici ad ambo le (a, e) e (d, e) ; dovrà 

 esistere inoltre, sulla stessa catena, una coppia di punti armonici ad ambo le 

 coppie (a, e) e (b, e) (*). 



(*) Si potrebbe altresì constatare, ohe detta prps. e primitiva — una volta concesse le preced.' — 

 equivale al notissimo teor." di Pappo sull'esagono piano inscritto nella coppia di rette. 



