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Di qui procedon senz'altro le rimanenti P26-32 di 6 § 5 ; e poscia — senza ecce- 

 zione di sorta, purché, invece di " retta proj. r „ si legga dovunque " catena 

 \abc\ „ — tutte quante le prpsiz} dei §§ 6 e 7 circa la connessione, gli ordi- 

 namenti naturali e i sensi o versi d'una catena. Un rapido sguardo al 

 ragguardevole contenuto di codesti §§ non sarebbe fuor di proposito, ma ce ne 

 distolgon ragioni di brevità e discrezione: sicché ci convien rimandare alla cit. a 

 meni." (§§ 5, 6, 7) il Lettore, che voglia rendersi conto della maniera, onde i fatti 

 compresi o contemplati implicitamente in quelle nozioni di ordinamento natu- 

 rale e senso d'una catena si svolgano dai pstl. I-XXII per via di sole definiz. 1 

 nominali, e senza bisogno d'alcun nuovo soggetto primitivo — dopo il punto, 

 la retta e la catena. 



[POSTULATO XXIII. 



" Essendo a, b, e punti complessi allineati e distinti, p e p due punti a 

 piacere nel segmento (abe) purcnè non coincidenti, poscia i ed l 

 numeri interi positivi o nulli, ma del resto arbitrari; se si pone: 



Po = b, e (per i>0) P, = Ann {a, &_ 1; e); 

 Pi,os«, P,,i = P>, e (per 1>1) $, A = Arm(c, &.,_,, p lj: _ 2 ); 



bisognerà che uno almeno dei punti P così definiti cada fuor del 

 segmento (pap)'. „ 



In altri termini: " Costruendo successiva i quarti armonici: 



Pi = Arni (a, b, e), P 2 = Arm(a, P x , e), 8 3 = Arni [a, P 2 , e), . . . , 

 si deve giungere a un punto p, tale, che nella serie armonica: 

 P^=% P.,2 = Arni (e, p„ a), p,, 3 = Arni (e, 8,-,, P,-,), B i|4 = Arm{c, P,, 3 , p,,,), 



vi sia qualche punto p,,i esterno al segmento (pap') „. (Osservate che, salvo il 

 punto P, „, codesti punti p cadranno tutti entro il segmento (abe) (6, P25 § 5 ecc.) ; 

 e che (sulla catena) i punti esclusi dal segmento (pap') non sono altro che i 

 punti intermedi fra p e p' nell'ordine naturale a, b, e). 



È questo un principio che io già proposi (sotto il num°. XVUI') nella Nota 

 " Circa il teorema fondam. di Staudt e i Principi della Geom* Proiettiva „ (loc. 

 cit.), come atto a far le veci del pstl. di R. Dedekind (6, P7 § 9) in ordine ai 

 fini dell'ordinaria Geom. a projettiva reale di primo e secondo grado (che non 

 reclamano continuità sulle forme semplici, nel senso di R. Dedekind e 

 Gr. Cantor). Invero, se per " trasformazione armonica „ s'intende (conforme 

 all'uso) " trasformazione univoca di punti in punti, che non abbia virtù di alte- 

 rare la relazione armonica (§ 1, Dfn. 4 a ) „ ; con l'aiuto dei soli principi I-XXIII 

 si dimostra il teorema fondam. 6 di Staudt, vale a dire (loc. cit., § 2) : 



Teor. 4°. " Se una trasformazione armonica, per cui sian tautologia tre punti com- 

 plessi a, è, e collineari e distinti, rappresenta sopra se stessa la catena \abc\, 



