19 NUOVI PBINCIPII DI GEOMETRIA PROJETTIVA COMPLESSA 207 



dovrà convertire in sé stesso ogni punto della catena. „ 0, in altri termini: 

 " Una corrispondenza armonica fra i punti d'una catena sarà una trasforma- 

 zione identica della catena in sé stessa, qualunque volta imporrà più di due 

 punti uniti distinti alla catena,,; "Qualsivoglia trasforma 3 armonica d'una 

 catena in sé stessa, che imponga alla catena più di due punti uniti, è una 

 identità. „ 



E così tutte quante le proposiz. stabilite ai §§ 2-8 dell'anzidetta Nota (" Circa 

 il teor. fond. e di Staudt etc.) potranno allegarsi anche qui — se alla retta (reale) 

 di cui si parla intenderemo sostituita la catena | abc \ . 



Teor. 5°. " Essendo a e b punti complessi non coincidenti, se a ciascun punto della 

 retta ab si coordina il coniugato armonico di quello rispetto ai punti a e b, 

 nasce fra i punti di essa retta una corrispondenza involutoria ed armonica 

 costruibile per projezioni e sezioni: la quale muta pertanto le catene 

 in catene (rappresenta punti concatenati in punti concatenati), anzi converte 

 in sé stessa ogni catena contenente ciascuno dei punti a e b. „ Cfr. Staudt, 

 Beitr., n. 219. [La corrispondenza in parola — che indicheremo talvolta col sim- 

 bolo " Arm(a, b, r) „, posto r = ab — si costruisce notoriamente così (ved. § 1 

 Dfn. 4 a ). Preso un punto u fuor della retta r, e un punto u' sulla retta bu, 

 diverso da b e da u, si projetti un punto variabile x della r sopra la retta aa! 

 dal centro u, e dicasi v l'immagine ; poscia il punto v si projetti da b in b' sopra 

 la retta au, e il punto b' da a' sopra la r in x' : sarà x' il trasformato di x, e 

 viceversa. Onde basta richiamarci ai pstl. VI, IX, X, XVI e XVII.] 



§ 3°. 

 Le catene d'una retta complessa. 



Dai postulati ammessi finora non si deduce l'esistenza di punti collineari e 

 non concatenati. Invero, sostituendo in tutto ciò che precede il punto reale 

 dell'ordinaria Geom. a Proj. a al punto complesso, e la retta reale al posto 

 sì della retta complessa e sì ancora della catena, n'esciranno verificate le prpsz.' 

 primitive I-XXIII; sebbene, di fronte a codesta interpetrazione degli enti primitivi, 

 la retta complessa non si distingue dalla catena. Altro è, se si concede il seguente : 



POSTULATO XXIV. 



" Qualunque volta a, b, e, d siano punti complessi collineari e distinti 

 gli uni dagli altri, esiste (almeno) una coppia di punti armonici 

 così rispetto ad a e è, come rispetto a e e d. „ — Cfr. Staudt, Beitr., 

 n. 148. — Appresso si proverà (Tr. 9°), che due coppie di questa sorta non 

 posson al certo coesistere. Se ora consideriamo sopra una stessa catena 

 due coppie di punti («, b) e (e, d), che si separino a vicenda (Dfn. 2 a § 2) — 

 per es. due coppie che si separino armonicamente fra loro (9, P23 § 5) — 

 i due punti, armonici come sopra rispetto ad ambo le coppie, cadranno bensì 

 nella retta complessa ab (Defn. 4 § 1), ma fuori della catena \abc\. 



