208 MARIO PIERI 20 



Teor. 1°. " Se in una data retta complessa — e sia p. e. r — due punti e, f sian 

 conjugati armonicamente cosi rispetto a due punti a e b, come rispetto ad altri 

 due punti e e d, senza che tutti questi a, b, e, d, e,f appartengano ad una stessa 

 catena; allora le due catene \eac\ ed \ebd\ — e per egual modo le \ead\, \ebc\ — 

 non avranno, da e in fuori, alcun altro punto in comune. „ 

 Cfr. Staudt, Beitr., n. 210. [Per ipts. e~ = f (0, P16§4); anzi ognuno degli a, 

 b, e, d, e, f sarà diverso dagli altri cinque (XVII). Ora (Tr. 5° § 2) la trasforma- 

 zione Arm(e, f, r) muterà i punti a,b,c,d,e,f ordinatamente nei punti b, a, d, 

 e, e, f, e quindi la catena | eac | nella catena | ebd | : dunque nessuna di queste 

 catene può contenere f — trattandosi che son distinte fra loro in ipotesi, lad- 

 dove ogni catena passante per ambo i punti e ed f sarebbe tautologa (Ivi). D'altra 

 parte, se le catene \eac\, \ebd\ sostenessero in comune qualche punto diverso 

 da e — e sia p. es. g — questo dovrebbe corrispondere a qualche punto eziandio 

 comune alle medesime (dato il carattere involutorio della trasform. 6 Arm(e,f,r))f 

 dunque a se stesso (Tr. 2° §2): onde g=f, contro ciò che si è visto]. 



Emerge dal Tr. 2° § 2, che due catene non possono avere più di due punti 

 a comune (beninteso diversi fra loro) senza coincidere. Ora noi proveremo altresì, 

 che due catene spettanti alla medesima retta ben possono avere un sol punto a 

 comune — od essere, come suol dirsi, tangenti fra loro in quel punto. 



Teor. 2°. " Premesso che a, b, e, e siano punti collineari, ma non concatenati (quindi 

 al tutto distinti fra loro), esiste sempre in ab qualche punto diverso da è e da e 



— sia per es. d — per cui le catene \eac\, \ebd\ non s'incontrano fuori di e. „ 

 0, in altri termini: " Premesso etc, sulla retta ab esisterà una catena passante 

 per b e tangente in e alla catena \eac\ „. Cfr. Staudt, Beitr., n. 208. [Pon- 

 gasi f=Ar m (a, b, e) ; poscia — visto che f sarà diverso da e e da e (XI e XVII) 



— d = Arm(e, f, e). I punti e,f sono armonici tanto rispetto ad a e è, quanto 

 rispetto a e e d : e però le catene ( eac | , | ebd | non s'incontrano fuori di e (Tr. I )]. 

 Col principio seguente si afferma inoltre l'incompatibilità di due diverse catene 

 sulla retta ab, tangenti sì l'una che l'altra nel medesimo punto e alla catena \eac\, 

 e passanti ambedue per b. 



POSTULATO XXV. 



" Se tre diverse catene X, u e v d'una medesima retta complessa hanno 

 un punto in comune, per modo che X e u, al pari di u e v, non 

 s'incontrino altrove, nemmeno X e v potranno incontrarsi fuor di 

 quel punto. „ Cfr. Staudt, Beitr., n. 208. 



Teor. 3°. " Essendo a,b,c,d,e punti collineari e distinti; se le catene \eac\ ed \ebd\, 

 e così pure le j ead | ed | ebc | non s'incontrano fuori di e, il conjugato armonico 

 di questo punto e rispetto ad a e è coinciderà con l'armonico dello stesso punto e 

 rispetto a e e d. „ Cfr. Staudt, Beitr., n. 211. [È una prpsz. e reciproca del Tr. 1°; 

 e la proveremo seguendo Staudt al luogo cit. Pongasi f= Arni (a, b, e), poscia 

 d' = Ann (e, f, e) : si dimostra che d' = d. Il punto f, oltre che diverso da e (XI), 

 sarà eziandio diverso da e : però che il supporre f— e farebbe coincider fra loro 

 le due catene \eac\, \ ebc j (XVII e Tr. 2° § 2). Ne il punto d' — anch'esso diverso- 



