21 NUOVI PEINCIPII DI GEOMETRIA PROJETTIVA COMPLESSA 209 



da e — potrà cadere in b; però che l'armonico di b risp. ad e, f, cioè il punto a 

 (9, P19 § 4), non si confonde con e. Ora — grazie al Tr. 1° — le due catene 

 |eac|, \ebd'\ non hanno punti a comune, da e in fuori: dunque è forza che d' 

 appartenga alla catena \ebd\; se no — contro il princ. XXV — due diverse 

 catene \ebd\, \ebd'\, con due punti distinti in comune e, b, toccherebber la 

 catena \eac\ nel medesimo punto e. Per egual modo si prova che d'e\ead\. D'altra 

 parte le due catene | ead \ , \ ebd | non posson coincidere, dal momento che per ipts. 

 le \eac\, \ebd\ non s'incontrano fuori di e: dunque il punto d' comune a quelle 

 catene, ma diverso da e, dovrà coincider con d]. 



Teor. 4°. " Se due rette complesse son riferite fra loro punto per punto in guisa, 

 che ad ogni quaterna di punti concatenati (dell'una o dell'altra retta) corrisponda 

 sempre una quaterna di punti concatenati — e quindi ad ogni catena una catena 

 — bisognerà che ogni tetrade armonica (sì dell'una come dell'altra retta) si 

 rappresenti in una tetrade armonica. „ 0, sotto altra forma: " Qualunque tras- 

 formazione univoca e reciproca d'una retta complessa r in un'altra r', che non 

 distrugga il concatenamento fra punti, dovrà eziandio conservare l'armonia 

 nelle coppie di punti. „ Cfr. Staudt, Beitr., n. 214. [Possiamo richiamarci 

 senz'altro al luogo cit. di Staudt, dove questa propsiz. è saldamente stabilita 

 sui (nostri) Tr. 1 1, 3 e sul princ. XXIV]. 



Della propsz. 9 inversa (" Qualsivoglia trasformazione armonica d'una retta 

 complessa in un'altra convertirà le catene in catene „) non si conosce per ora 

 nessuna dimostraz. e rigorosa nell'ambito del sistema. Staudtiano, anzi nemmeno 

 dal punto di vista algebrico (*) : e vi sono indizi prò e contra la sua verità. Ma, 

 di fronte al nuovo coordinamento dei fatti geometrico-projettivi che qui si studia, 

 nessun ufficio deduttivo appartiene a codesta proposiz. e (né le compete un valore 

 più che mediocre): la quale avrebbe all'incontro un peso non lieve, se si cer- 

 casse di definire esplicitamente le antiprojettività e le catene mediante il punto 

 e la retta soltanto. — 



A scopo di maggior chiarezza e brevità di locuzione, mi sia concesso adottar 

 la seguente: 



Defin. l a . " Il nome di " ali omografia „ (da a\uo"is, catena, ecc.) è per significare: 

 " rappresentazione univoca e reciproca di punti in punti, che ad ogni catena 

 subordina sempre una catena „. Tale ad es. (XVI) la trasformazione biunivoca 

 (d'uno s*pazio lineare complesso in un altro) costruibile per proiezioni 

 successive. Tale ancora la trasform. e contemplata dal Tr. 5 § 2. — Il Tr. 4° 

 potrebbe ora enunciarsi dicendo: " Qualunque aliomografia tra due rette com- 

 plesse è una trasformazione armonica „. E potremmo anche soggiungere, 

 che qualsivoglia aliomografia tra due spazi lineari complessi è una cor- 

 rispondenza armonica (XII e Df. 4 § 1). 



Osservate fin d'ora che, se si chiama " punto complesso „ il " punto 

 reale d'una data sfera R „, e " congiungente due punti complessi 



(*) Ved. C. Seghe, Un nuovo campo di ricerche geometriche (loc. cit.), n. 1 — e " Intermédiaire 

 des Mathématiciens „, t. I, n° 10. 



Serie IL Tom. LV. e» 



