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MARIO PIERI 



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distinti „ la " sfera R „; indi " catena di tre punti complessi allineati e 

 distinti „ il " cerchio determinato sopra la sfera R da tre punti reali e distinti 

 di questa superficie „; n'esciranno verificati i principi I-IX, XI-XVI: e — se 

 si interpetra la posizione armonica di quattro punti (d'un cerchio) come in Geom." 

 elementare e l'omografia della sfera in sé stessa per collineazione di 1°- specie (le 

 Df. 4 a § 1 e 2 a §4 essendo attualmente illusorie) — anche i rimanenti XVII-XXX: 

 per la qual cosa la sfera reale R, con tutti i suoi punti reali e cerchi reali, 

 potrà fare opportunamente da immagine a qualsiasi retta prj. complessa r; 

 sarà insomma un esempio palpabile di varietà lineare complessa da una 

 sola dimensione. Al medesimo ufficio si presta anche il piano reale nella notis- 

 sima rappresentazione di Argand e Gauss; in quanto può riferirsi immediata- 

 mente alla sfera per projezione stereografica polare, di guisa che le 

 catene di r ne vengano rappresentate da cerchi o rette: ecc. Si conclude, 

 che la più parte dei fatti contemplati ai §§ 2-6 del presente lavoro son capaci 

 di esplicazione mediante figure piane: artifizio molto opportuno, e da raccoman- 

 dare a chiunque voglia farsi un'idea del lor contenuto logico. 



Teor. 5°. " Qualsivoglia aliomografia, per cui sian tautologi quattro punti a, b, e, d per- 

 tinenti a una medesima retta complessa r, ma non situati sopra una stessa 

 catena, dovrà convertir ciascun punto di quella retta in se stesso. „ [Sia per es. x 

 un punto arbitrario di r ; non però situato nella catena u, che passa per d toc- 

 cando in a la catena | abe | (Tr. 2° e XXV) : sicché la catena | adx | non può 

 toccare in a la catena | abe | . Ogni punto della catena | abe | sarà certamente tau- 

 tologo per la nostra alisigrafia (Dfn. l a , Tr. 4°, Tr. 2°, 4° § 2): dunque tautologo il 

 punto, dove questa catena è incontrata, fuori di a, dalla catena |adar|: e p. cons. 

 tautologo * (Tr. 4°, Tr. 4° § 2). Ora, se y è un punto diverso da a sulla catena \x, 

 non potrà darsi che la catena | axy | — certamente diversa da u — tocchi in a 

 la catena \abc\ (XXV): dunque le \abc\, \axy\ dovranno incontrarsi anche fuori 

 di a; e però, come dianzi, ogni punto della catena \axy\ corrisponde a sé stesso]. 



Fig. 2. 



Teor. 6°. " Premesso che a,bec,d sono coppie di punti d'una stessa catena, tutti e 

 quattro distinti fra loro ; se avvien che due punti e, f, esterni alla catena, sian 

 coniugati armonicamente rispetto a ciascuna di quelle coppie, bisognerà che l'ar- 

 monico di qualunque altro punto della catena rispetto alla coppia e, f giaccia 



