23 NUOVI PRINCIPII DI GEOMETRIA PROJETTIVA COMPLESSA 211 



eziandio sulla catena. „ [Invero — i punti e, f essendo necessariam. e distinti 

 (XI ecc.) — se si pone r = ef, la trasf. Arm(e,f,r) convertirà — grazie ad 

 (iO Tr . 5° § 2 — la catena | abc | nella catena | baci \ , vale a dire in se stessa (Tr. 2° § 2)]. 

 — Per la qual cosa, se a; è un punto arbitrario della \abc\, questa catena sarà 

 nuovamente incontrata dalla | efx \ nel punto y, coniugato armonico di x rispetto 

 ad e, f (XVII). Dunque ogni catena condotta per li due punti e,f — purché 

 incontrila data catena \abc\ — dovrà certamente tagliarla in due punti distinti 

 (armonici risp. ad e, f). Ma la restrizione in corsivo diviene superflua in virtù 

 del seguente: 



POSTULATO XXVI. 



" Dato che i punti a e b, non coincidenti fra loro, sian conjugati armo- 

 nicamente rispetto ai punti e e ci, eziandio non coincidenti; e che 

 inoltre e, f siano punti armonici cosi rispetto ad a e b, come rispetto 

 a e e d: allora qualunque catena che passi per ambo i punti e, f, 

 incontrerà la catena \abc\. „ — Punti, come a,b,c,d,e,f esiston per certo, 

 grazie al princ.° XXIV; anzi, ciascuno è diverso dagli altri cinque, e giacciono 

 in quattro alla volta su tre diverse catene | abc | , [ abe | , | ede \ . — Onde subito il : 



Teor. 7°. " Nell'Ipotesi del Tr. 6°, qualsivoglia catena che passi per ambo i punti e, f 

 dovrà necessariamente tagliare la catena | abc \ . „ [L'Ipotesi di questi Tr.' 6° e 7° 

 si può facilmente tradurre in quella del princ. XXVI. Perciò si osservi (Dfn. l a 

 e § 2 Tr. 5°) che — posto r ~ef — l'aliomografia involutoria Arm(e, f, r) rappre- 

 senta i punti a, b, e, d nei punti b,a,d,c: e però converte in se stessa la catena 

 \abc\, accoppiandone i punti secondo un'involuzione ellittica ordinaria 

 (corrispondenza armonica ed involutoria senza elementi doppi). D'altra 

 parte sappiamo, ch'esiston sempre due punti e e d' conjugati fra loro secondo 

 la detta involuzione e in pari tempo armonici l'un l'altro rispetto ad a e b (Vedi 

 il § 5 della mia Nota " Circa il teor. fond. e di Staudt ecc. „ loc. cit.) : per la 

 qual cosa i punti e, f onde si parla saranno armonici l'un l'altro rispetto a cia- 

 scuna delle due coppie (a, b) e (e', d'), coniugate armonicam. 6 fra loro. Ecc.]. 



Defin. 2\ " NellTpts. dei Tr. 1 6° e 7°, i due punti e, f si diranno " separati armo- 

 nicamente per mezzo della catena \abc\ „ — od anche " armonici rispetto alla 

 catena \abc\ „. E ciascun punto' della \abc\ sarà per dirsi " armonico di sé mede- 

 simo, rispetto alla catena „. »- Così anche Staudt, Beitr., n. 212: poscia che 

 la | abc | vien segata da ogni catena, che passi per ambo i punti e, f secondo una 

 coppia di punti separati armonicamente per mezzo di questi. — In Somma 

 " due punti e, f si dicono armonicam. 8 conjugati risp. ad una catena 

 1°) se coincidon fra loro in un punto di questa; 2°) ovvero qualunque volta esi- 

 stono sulla catena due coppie di punti che si separino a vicenda, e cia- 

 scuna separi armonica m. te la coppia e, f (Ved. la Dfn. 2 a § 2). — Nel 

 2° caso i punti e, f sono al certo distinti fra loro, ed esclusi dalla catena. 



Teor. 8°. " Sotto le stesse ipotesi, non può mai darsi che un punto diverso da f 

 sia separato armonicamente dal punto e per mezzo della catena \abc\ „. [Ove 



