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esistesse un tal punto — sia p. es. g — la catena \efg\ taglierebbe la data \abc\ 

 secondo una coppia di punti armonici tanto risp. ad e,f, quanto risp. ad e, g 

 (Tr. 7°): onde g = f{9, P12 § 4), contro il supposto]. 



Si può adesso accertare l'unicità della coppia armonica a due date coppie di 

 punti collineari — dopo averne assicurata l'esistenza mercè il pstl. XXIV. 



Teor. 9°. " Posto che a, b, e, d siano punti complessi allineati e diversi gli uni dagli 

 altri, se ciascuna delle due coppie di punti [x, y) ed (w, v) sia conjugata armo- 

 nicamente rispetto a ciascuna delle due coppie (a, b) e (e, d), bisognerà che la (u, v) 

 si confonda con la (x, y) (*). „ [Per certo i punti x ed y saranno distinti fra loro, 

 e così anche gli u e v. Posto r = ab, le aliomografie involutorie Arm{x, y, r) ed 

 Arm{u, v, r) (Dfn. l a e § 2 Tr. 5°) cangeranno ordinatamente i punti a, b, e, d nei 

 punti b, a,d,c: per la qual cosa la risultante, o prodotto, di codeste trasforma- 

 zioni — ognuna delle quali coincide con la propria inversa — è un'aliomografia 

 che tien fermo ciascuno dei punti a, b, e, d. Dunque, se gli a, b, e, d non sono con- 

 catenati, la detta risultante sarà una trasformaz. e identica della retta r 

 in sé stessa, grazie al Tr. 5°; onde Arm(x, y, r) = Arm(u, v, r), e per conseg. 

 Arm(u, v, x) = x, Armili, v,y) = y: ed x coinciderà necessariam. te con u o con v 

 (G, P23 § 5), y con v o con u. 



Di poi si supponga, che i punti a, b, e, d giacciano sopra una stessa catena \. 

 Le due trasformazioni Arm(x, y, r) e Arm(u, v, r), tutto che non eguali fra loro, 

 produrranno ancora il medesimo effetto sulla catena x> grazie al 

 Tr. 4° §2: dimodoché Arm(x, y. x) =Arm(u, v, x). Se dunque anche x giace 

 in x> bisognerà che coincida con u o con v; dal momento che, in tale ipotesi, 

 Arm(u, v, x) = x. Il simile diremmo, se uno qualunque dei punti y, u, v 

 cadesse in x- Resta che niuno dei punti x, y, u, v appartenga a X- Si 

 osservi che i punti x, y, u, v sono al certo concatenati : se no, per quanto abbiam 

 visto innanzi (mettendo x, y, u, v al posto di a, b, e, d, e viceversa) le coppie (a,b) 

 e (e, d) non sarebber distinte, contro l'ipts. Inoltre i punti x ed y, al pari degli u 

 e v — dato che sian tutti e quattro esterni a x, come vogliamo supporre — saranno 

 armonici rispetto a x (Dfn. 2 a ): per la qual cosa, ove u non coincidesse con xo 

 con y, la catena \xyu\ taglierebbe la catena x in due punti distinti «ned», 

 armonici risp. ad x, y (Tr. 7°). Or questi punti m ed n potrebbero esser 

 totalmente diversi cosi dai punti a e b, come dai punti e e d: ed allora gli a 

 e b — e per egual modo e e d — n'escirebber separati armonicamente dalla 

 catena \xyu\ (Dfn. 2 a ); onde {ni, n) sarebbe, al pari di (x,y), una coppia armo- 

 nica rispetto ad ambo le coppie (a, b) e (e, d) (Tr. 7°), e per conseguenza 

 Arm(m,n,x) = Arm(x, y,y), Arm(x,y,m) = m; quindi m coincidente con x o cony 

 — contro l'ipts. che x ed y giacciano fuori di X- Oppure il punto m coincide- 

 rebbe, ad es., con a ed « con b: ma si cadrebbe anche allora nel medesimo 

 assurdo; sol che togliessimo alle veci dei punti a e b qualunque altra coppia di 

 punti a' e V della catena x (escluse le coppie a, b e e, d) armonici tanto rispetto 



(*) Qui (e bene spesso anche altrove) non si fa distinzione fra coppie come le (m, v) e (v, «), 

 diverse sol per l'ordine degli elementi. 



