25 NUOVI PEINCIPII DI GEOMETEIA PROJETTIVA COMPLESSA 213 



ad x e y, quanto rispetto ad m e »; coppia fuor d'ogni dubbio esistente, in virtù 

 della relazione Arm{x, y, x) = Arm(u, v, x). Ecc.]. 



Teor. 10°. " Dati a piacere i punti e, f, a sopra una medesima retta complessa, purché 

 distinti fra loro, esiste sempre una ed una sola catena, che passa per a e 

 separa armonicamente la coppia e, f. „ [Sia b l'armonico dopo e, f, a — per il 

 quale ha da passar senza fallo la catena in quistione (Tr. 6°) — e (e, d) sia la 

 coppia armonica ad ambo le coppie {e, f) ed (a, b) (XXIV e Tr. 9°). I punti e, f, 

 armonici rispetto a ciascuna delle due coppie (a, b) e (e, d) ed esterni alla catena 

 \abc\ (Dfn. l a e 6, P23§5), son separati armonicam. te per mezzo di questo (Dfn. 2 a ). 

 Poscia qualunque altra catena che passi per a e per b — e sia p. es. x — 

 taglierà la catena \efc\, che separa armonicamente a e b, in due punti armonici 

 rispetto ad a e è (Tr. 7°), ma non rispetto ad e, f (Tr. 9°) : sicché non può darsi, 

 che questi due punti e, f sian separati armonicam. e da X- — Cosi anche Staudt, 

 Beitr., n. 241]. 



Ma dalle cose precedenti non par che si possa desumere, per ciascun punto e 

 dato a piacer sulla retta, l'esistenza di qualche altro punto come f (sepa- 

 rato armonicam. 6 da quello mediante una data catena) : né ricavare le proprietà 

 più notevoli di così fatta relazione fra punti d'una medesima retta. A ciò sop- 

 perisce il seguente: 



POSTULATO XXVII. 



* Sotto la stessa ipotesi del postl. to preced. te , se due punti g ed h della 

 catena \abe\ — quantunque diversi dagli a, b, e, f — son separati 

 armonicamente per mezzo di punti a e b, l'armonico del punto e 

 rispetto a g ed h dovrà stare nella catena \abc\. „ — Onde subito il 



Teor. 11°. " Nelle stesse ipts. dei Teor. 1 6°, 7° e 8°, qualunque coppia di punti della 

 catena | abe | , che sian separati armonicamente dai punti a e b, saranno eziandio 

 separati armonicam. 6 dalla catena | abe \ . „ [Ved. la dmstrz. del Tr. 7° ; dopo 

 avere osservato che i punti g ed h, intorno a cui volge il principio XXVII, 

 son separati armonicam. te dalla catena \abc\, giusta la Dfn. 2 a ]. 



Teor. 12°. " Se quattro punti a, b, e, e spettanti ad una medesima rotta complessa non 

 giacciono sopra una stessa catena, esisterà sempre un punto, ed uno sol- 

 tanto, separato armonicam. te dal punto e per mezzo della catena | abe | . „ — 

 Cfr. Staudt, Beitr., n. 212. [Sia per es. d l'armonico di e risp.° ad a e b. Per 

 certo esiston due punti e 1 , f, armonici tanto risp. ad a e è, quanto rispetto a e 

 e d (XXIV) ; punti esterni alla catena | abe | . Se il punto e coincide per avven- 

 tura con uno di questi, non c'è altro da dire, visto il Tr. 8°. Se no, le catene \abc\ 

 ed \ee'f'\ si taglieranno (XXVI); e l'armonico di e rispetto ai due punti d'in- 

 tersezione sarà, grazie al Tr. 11° e al Tr. 2° § 2, separato armonicamente da e 

 per mezzo della catena |aèc[]. 



Teor. 13°. " Se nelle stesse ipotesi i punti g ed h, al pari dei punti e, f, sian sepa- 

 rati armonicam. e dalla catena | abe \ , tutti e quattro appartengono ad una stessa 

 catena, dove le coppie e, f e g, h non si separano. Ovvero : Due coppie, ciascuna 



