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di punti armonici risp.° a una stessa catena, sono sempre concatenate, e 

 non possono mai separarsi a vicenda. „ [Si può conceder che g non coincida con e 

 o con f. Sulla \efg\, che taglia in due punti distinti la data catena | abc | (Tr. 7°), 

 tolgasi il conjugato armonico del punto g rispetto ai due punti d'intersezione: 

 sarà un punto separato armonicam. e da g per mezzo della catena (Tr. 1 1° e Tr. 2 § 2), 

 e però coincidente col dato punto h (Tr. 8°). Il resto al Lettore]. 



Teor. 14°. " Nell'ipotesi del Tr. 6°, qualunque coppia di punti armonici rispetto ad a 

 eòe separati armonicamente dalla catena | abc \ , dovrà stare sulla catena \abe\. „ 



— È una prpsz. reciproca del Tr. 11°. [I punti e', f siano armonici rispetto 

 ad (a, b) e separati armonicam. te dalla catena \abc\ — ma diversi dai punti e,f. 



I punti e,f,e',f saranno concatenati (Tr. 13°); 

 come, per altro motivo, gli e, f, a, b (XVII). Po- 

 \ niamo che il punto e' non giaccia sulla catena 

 \abe\. Dunque le coppie (e, f) ed (e, f) sono armo- 

 niche, sì l'una che l'altra, ad (a, b) ; e ciascuna è, 

 in pari tempo, armonica risp. alla coppia (x, y) 

 dei punti comuni alle catene | abc | , | efe' | (Tr. 7°) 

 — punti al tutto diversi dagli a e b, dal momento 

 che le catene | abe | , [ efe' | non s' incontrano fuori 

 di e, f (Tr. 2° §2). Dunque le (e,f), {e', f) coincide- 

 rebbero (Tr. 9°). C'è dunque contraddizione fra il 

 supporre i punti e', f diversi dai punti e,f, e il sup- 

 porre che gli e',f giacciali fuori della catena |aèe|]. 



— Si conclude che — sotto le stesse ipts. e dato il Tr. 11° — la catena \abe\ 

 sarà il luogo geometrico d'ogni coppia di punti armonici sì risp. alla catena 

 \abc\, e sì ancora risp. alla coppia di punti a e b. 



Defin. 3\ " Essendo a, b, e punti collineari l'un l'altro distinti, per " catena orto- 

 gonale alla catena \abc\ nei punti a e b „ s'intende quella catena che — 

 giusta i Tr. ! 11° e 14° — è occupata dalle infinite coppie di punti armonici così 

 risp. alla catena |«èc|, come rispetto ai punti a e b. „ — Se d — Arm(a,b,c), 

 ed e, f sia la coppia armonica tanto risp. ad a e è, quanto risp. a, e e d; sarà 

 dunque | efa j — ovver, ch'è lo stesso, | abe | — la catena ortogonale in a e è alla 

 catena | abc | . — Ogni catena, la quale contenga una coppia di punti separati 

 armonicam. 6 da un'altra catena (Dfn. 2 a ), è ortogonale a quest'altra nei punti 

 che — giusta il Tr. 7° — saranno comuni alle due catene (Tr. 14°, ecc.). 



Teor. 15°. " Sempre che a, b, e siano punti collineari e distinti, se x è la catena orto- 

 gonale in a e b alla catena \abc\ (Dfn. 3 a ), questa alla sua volta sarà ortogonale 

 a X nei medesimi punti „. — Cfr. Staudt, Beitr., n. 240. [Se d è l'armonico 

 dopo a, b, e, la coppia e, f dei punti armonici tanto risp. ad a e b, quanto risp.° 

 a e e d, dovrà stare in x (Tr. 14°) : per la qual cosa i punti e e d, come armo- 

 nici ad ambo le coppie (a, b) ed (e, f) che si separano in x, saranno armonicam. e 

 separati da questa catena: onde \abc\ ortogonale a x (Dfn. 3 a )]. 



Teor. 16°. " Se una catena \ è ortogonale ad un'altra catena p — per es. nei punti a 

 e b — l'armonico d'ogni punto di X risp. a p giace di nuovo in X. „ [Invero, 



