27 NUOVI PEINCIPII DI GEOMETRIA PROJETTIVA COMPLESSA 215 



preso a piacere su X un punto e, il quale non giaccia in p ; e detto f l'armonico 

 di e risp. a p (Tr. 12°), sarà /' esterno a p, oltre che diverso da e; e la catena 

 | efa | passerà per b (Tr. 6°) : onde j efa [ — | aie | =s X (Tr. 2° § 2)]. 



Teor. 17°. " Se due distinte catene X e u saranno ortogonali a una medesima catena p, 

 i punti comuni a X e u, ove esistano, saranno separati armonicam. e da p, o coin- 

 cideranno su p. E qualsivoglia catena tangente a \ in uno dei punti, ove questa 

 s'incontra con p (oltre che situata nella medesima retta complessa, cui spettano X 

 e p) sarà ortogonale a p. „ [Se fuor di p esiste un punto comune a X e u — e 

 sia p. es. e — anche l'armonico di e risp. a p — sarà comune alle due catene 

 X e u (Tr. 16°), che non avranno altri punti a comune. Se poi X e u s'incon- 

 trano in un punto di p, non potranno avere in comune alcun altro punto di 

 questa catena: visto che due catene ortogonali ad una medesima catena negli 

 stessi due punti necessariam. e coincidono. Ecc.]. 



Teor. 18°. " Secondo che due coppie di punti {a, b) e (e, ci) contenute da una stessa 

 catena x non si separano ovver si separano in questa, esiste o non esiste una 

 catena che separi armonicam. te sì l'ima che l'altra coppia (Ved. il Tr. 13°). „ 

 [Tale sarà la catena ortogonale a x ne i punti armonici tanto risp.° ad a e b, 

 quanto risp. a e e ci — se questa coppia giace in x (Dfh. 2 a § 2 e Dfn. 3 a )]. 



Teor. 19°. " Se X e u son catene di una medesima retta complessa, esiston catene 

 ortogonali a X e u in un tempo. „ [Si può conceder che X — = u. Preso in X un 

 punto a piacere, pur che esterno a u — e sia p. es. a — l'armonico di a risp. 

 a u sarà un punto «' diverso da quello ; e l'armonico di a' risp.° a X sarà un 

 punto a", certamente diverso da a'. Ora, se questo punto a" è diverso dal punto a, 

 la catena j aa'a" | — e nel caso opposto qualunque catena contenente i due punti a 

 e a' — sarà ortogonale ad ambedue le catene X e u]. 



Teor. 20°. " Date ancora sopra una retta complessa due diverse catene X e u; perchè 

 esistan due punti distinti e, f armonici sì all'una e sì all'altra catena, bisogna e 

 basta che X e u non abbian comune alcun punto. „ [Se insieme con quei due 

 punti e, f vi sarà un punto m comune alle due catene (e perciò diverso da ognuno 

 dei punti e, f) la catena | emf\ sarà ortogonale ad entrambe : e però X e u non 

 potranno incontrarsi altrove (Tr. 1 15° e 17°); e i punti (certamente distinti) 

 ove X e u verranno incontrate fuori di ni dalla catena \emf\, saranno tutti e due 

 armonici di m risp. ad e, f: assurdo (9, PI 2 § 4). — Di poi supponiamo che non 

 s'incontrino X e u: e sia p una catena ortogonale ad entrambe (Tr. 19°). Dico 

 che allora i punti a e b, comuni a X e p, non saranno separati dai punti e e ci, 

 comuni a u e p — cioè che la coppia e, f, armonica ad ambo le coppie a, b e 

 e, d (XXIV), dovrà appartenere a p. Invero se i punti e, /'fossero armonici risp.° 

 a p, ne verrebbe che la catena | efa | , ortogonale a p nei punti a e b, coincide- 

 rebbe con X; e similmente la catena \efc\ coinciderebbe con u: la qual cosa è 

 contraria all'ipotesi, che X e u non s'incontrino. Ora i punti e, f, come giacenti 

 su p ed armonici risp. ad a e è, saranno eziandio separati armonicam. e da X (Dfn. 3 a , 

 Tr. 11, ecc.). — Veda il Lettore, qualmente una coppia di punti armonici ad am- 

 bedue le catene X e u, ove esista, non può differire dall'anzidetta (e, /")]. 



