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Per corollario delle ultime prpsz.' abbiamo che: " Sopra una data retta com- 

 plessa, le catene ortogonali a due date catene che non s'incontrino passano tutte 

 per due punti fissi „; e che " Ogni catena che passi per due punti dati a 

 piacere, pur che distinti, è ortogonale a qualunque catena, che separi armonicam. 6 

 i medesimi .(Tr. 10°) „. Ecc., ecc. 



§ 4°. 



Corrispondenze projettive ed antiprojettive. 



Defin. l a . " Essendo r una retta proiettiva complessa e x una sua catena, chiame- 

 remo " inversione rispetto a x „ la, trasformazione univoca e involutoria 

 della retta r in sé stessa, che nasce allorquando si fa corrispondere a ciascun 

 punto di r l'armonico di esso punto risp.° a x (§ 3:Bfn.2 a , Tr. 12°, ecc.). „ 



— Per una corrispondenza sì fatta è tautologo ciascun punto della catena Xj & 

 nessun altro punto di r; e ogni catena ortogonale a x (Dfn. 3 a § 3) si converte 

 in se stessa (Tr. 16° §3); ecc., ecc. Che qualunque inversione rispetto ad una 

 catena sia trasformazione aliomografica, cioè muti le catene in catene (Dfn. 1" 

 § 3), non par che si possa dedurre da ciò che precede. Ma sarà vero, pur che si 

 conceda il seguente: 



POSTULATO XXVIII. 



" Se a, b, e sono punti l'un l'altro distinti d'una retta complessa r, esiste 

 un'aliomograna che li rappresenta ciascuno in sé stesso, senza 

 però convertire in sé stesso ogni punto di r. „ 



Teor. 1°. " Sotto la stessa Ipts., l'inversione rispetto alla catena \abc\ (Dfn. 1" e § 3 

 Tr. 8, 12, ecc.) è una trasformazione aliomografica della retta r in sé stessa. „ 

 [Siano e, f due punti separati armonicam. 6 dalla catena |aèc|, ma del resto arbi- 

 trari; ed X] un'aliomografia, che tenga fermo individualmente ciascuno dei punti a,b,c 



— e per cons. ogni punto della catena \abc\ (§ 3 : Dfn. l a e Tr. 4° ; § 2 Tr. 4°) — 

 non però tutti i punti di r (XXVIII). La coppia e, f sarà trasformata in se 

 stessa da r\ (§3: Dfn. 2 a e Tr. 4°, 9°), per modo che ne = fe n/=e, grazie al 

 Tr. 5° § 3. Dunque n cangia ogni punto di r nel conjugato armonico risp. alla 

 catena |aèc|; dunque non si distingue dall'inversione risp.° a questa catena]. 



— La stessa dmstrz. prova eziandio che : 



Teor. 2°. " Sotto la stessa Ipts., qualsivoglia aliomografia che rappresenti in sé stesso 

 ciascuno dei punti a, b, e, dovrà convertire ogni singolo punto di r in sé stesso 

 (identità su r), o trasferirlo nel conjugato armonico rispetto alla catena \abc\ 

 (inversione risp. ad | abe | ). „ 



Defin. 2 a . " Due rette prj. complesse r, r' che sian riferite fra loro punto 

 per punto si diranno " omografiche „ o " riferite projettivamente fra 

 loro „, qualunque volta esista una serie finita di prelezioni successive, la quale 

 determini sopra r' l'immagine di ciascun punto dir, e viceversa. „ — Grazie 



