29 NUOVI PRINCIPII DI GEOMETRIA PKOJETTIVA COMPLESSA 217 



al principio XVI (e a 0, P15 § 4), qualsivoglia omografia tra due rette sarà in 

 pari tempo un'aliomografia (Dfn. l a § 3) e una trasforma armonica. È un'omo- 

 grafia la corrispondenza contemplata dal Tr. 5° § 2. — La relazione d'identità ("=„) 

 è senza fallo un'omografia. Ecc. 

 Se ora concediamo il seguente: 



POSTULATO XXIX. 



" L'inversione rispetto ad una catena non è una trasformazione 

 omografica: cioè non esiste una serie finita di projezioni successive, atta 

 a individuare l'armonico di ciascun punto di r rispetto alla catena |«6c| 

 (Dfn. 2 a e § 3 Dfn. 2"). „ 



da questo e dai predetti Tr. 1 1° e 2° si potrà immediatamente concludere che 



Teor. 3°. " Qualsivoglia trasformazione omografica d'una retta r in se stessa, per 

 cui sian tautologi tre punti distinti a, b, e di essa retta, dovrà convertire ciascun 

 punto di r in se stesso. „ Cfr. Staudt, Beitr., n. 1 19G, 197, 217. 



Osservate che la definiz. e Cremoniana di omografia, qui senz'altro adottata 

 (Dfn. 2 a ), presenta su quella di Staudt (Beitr., n. 215) il vantaggio di non far 

 distinzione di sorta fra elementi reali e complessi. La defnz. e Staudtiana, in quanto 

 si appoggia alla nozione e alle proprietà principali dei sensi o versi nelle forme 

 semplici reali, presuppone la Geom. a projettiva reale; ancorché si faccia astra- 

 zione dal contenuto reale Staudtiano degli elementi complessi. Che poi tutte due 

 le definiz.' equivalgano in poter deduttivo, emerge per es. da ciò, che qualunque 

 omografia nel significato di Staudt è costruibile per projezioni successive (Beitr., 

 n. 218 e Geom. d. Lage, n. 112), e viceversa (Beitr., 203). 



I pstl.' XXVIII e XXIX — e segnatamente il primo di essi — parranno forse 

 concessioni eccessive: né io voglio negare la possibilità di ridurle ad altre di 

 minor peso, pur conservando o modificando di poco le premesse anteriori ; però 

 che la indipendenza loro da queste non è dimostrata. Ma escluder non si potrà 

 certamente a priori la necessità di postulare una somma di fatti ben più ragguar- 

 devole, di quel che basti alla Geom. a proj. a reale: se si considera quanto è mag- 

 giore il contenuto della Geom. a proj. a complessa; e che in fondo si tratta dei 

 predicati occorrenti a qualificare (di punto in bianco) le rigate* quadriche 

 d'una congruenza lineare ellittica di raggi, o i cerchi d'una sfera 

 reale. 



Teor. 4°. " Qualsivoglia aliomografia (Dfn.l a §3) d'una retta complessa r in un'altra r', 

 sarà una trasformazione omografica (Dfn. 2 a ), ovvero il prodotto di un'inver- 

 sione (Dfn. l a ) per un'omografia. „ [Siano a, b, e tre punti arbitrari di r, tutti 

 diversi fra loro, ed a' = aa, b'==ab, c'affi i loro trasformati per mezzo di un'alio- 

 mografia qualsivoglia di r in r', che chiameremo a. Esiste per certo un'omografia 

 di r in r' — sia p. es. uu — che trasferisce a, b, e rispettivam. e in a', V , e' : 

 tale ad es. la projezione di r in r' da un S x che si appoggi alle rette aa' , bb', ce' 

 (posto che r ed r' non sian complanari). La trasformazione u^a — prodotto di a 

 per l'inversa di uj — sarà un'aliomografia della retta r in sé stessa, con tre punti 



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