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uniti a,b,c: per la qual cosa (dato il Tr. 3°) ùj' a = 1, oppure u^a = J 0i6|C — 

 designando per J aib:C l'inversione rispetto alla catena |aèc|. Dunque a=uj, oppure 

 a=u)J aibiC : e. v. d.] — Non può mai succedere che il prodotto di un'inversione J per 

 l'omografia uj equivalga ad un'omografia uj': però che dall'ipts. ujJ=uj' si dedur- 

 rebbe J= QjW, in opposizione al princ. XXIX. — L'inversione J' a ',y,c' rispetto 

 alla catena | a'b'c' | non è altro che l'immagine portata dalla J a>b c sopra la retta r', 

 per effetto di uj (XVI): vale a dire JVbv = wJ^Uj 1 , onde JV&vuj = uu J aAe , ecc. 



Defin. 3\ " Per " antiprojettività „ od " antiomografia „ tra due rette com- 

 plesse r ed r' intendiamo la corrispondenza composta mediante un'omografia 

 tra le r ed »■', preceduta o seguita da un'inversione di r, o rispettiva di r', 

 in se stessa (*). — E però tra due rette non possono aversi che due sole specie 

 di aliomografia (XXVIII e Tr. 4°) che sono l'omografia (Dfn. 2 a ) e l'an- 

 tiomografia. 



Teor. 5°. " Dati a piacere sopra una retta complessa r i punti a, b, e, tutti e tre 

 distinti fra loro; e similmente i punti a',b',c' sopra una retta r' : esiste una 

 sola antiprojettività fra r ed r', come una sola projettività, che dia per 

 imagine i punti a', b' e e' ai punti a, b e e. „ [Che una trasformazione sì fatta 

 di r in r' esista per certo, si è già confermato a proposito del Tr. 4°. Ora, se 

 m ed uj' denotano trasformazioni omografiche di r in r', atte sì l'una che l'altra 

 a portare ordinatamente i punti a, b, e negli a', b', e.'; sarà ùj^ui un'omografia che 

 tien fermo ciascuno dei punti a,b,c; dunque un'identità (Tr.3°): cosicché uj=uj'. 

 Per egual modo, se wJ aAc ed w'Jafre saranno trasformaz.' antiprojettive di r in r' 

 (Dfn. 3 a ) capaci ambedue di rappresentare ordinatamente i punti a, b, e negli a', V e'; 

 bisognerà che tanto l'omografia uj, quanto la uj', subordini a' ad a, b' a è e e' a e 

 (però che J aAc tien fermi individualmente a, b e e): onde anche qui, come dianzi, 

 uj' = lu, e per cons. a w'J= wJ]. 



Teor. 6°. " Date le r, r' come sopra ed una terza retta complessa r", il prodotto di 

 un'antiomografia uiJ a ^ c di r in r', per un'antiomografia lJ' a \v,c' di r' in r", 

 è sempre un'omografia di r in r" : laddove, se si compone un'antiomografia 

 qualsivoglia con un'omografia, nasce sempre un'antiomografia. „ [Invero, 

 se quel prodotto equivalesse ad un' antiprojettività n J ahc di r in r"; cioè se 

 ZJ'.ujJ= r\J — uj, £, n essendo projettività così fatte, che uj(«, b, e) = (a', V , e'), 

 £(«',è',c') = (a",b",c"), r\(a,b,c) = (a",b",c") — ne verrebbe senz'altro SJ'ui = r), 

 e p. cons. J"' = g 1 nQj 1 : contro il principio XXIX. Il resto al Lettore]. 



Teor. 7°. " Se fra due spazi lineari complessi o" e a' da n dimensioni (Dfn. l a § 1) 

 intercede un' aliomografia qualsivoglia, bisognerà che a più punti allineati, 



complanari, , ecc. di 0* (o o"') corrispondano punti eziandio allineati, 



complanari, , ecc. di a' (o di a): per la qual cosa ogni spazio lineare 



dovrà rappresentarsi in uno spazio lineare (della stessa dimensione) ; e due spazi 

 lineari omologhi di o" e a' saranno eziandio aliomografici, e due rette omologhe 

 quali che siano n'esciranno riferite projettivamente od antiprojettivamente 

 fra loro (Tr. 4° e Dfn. 3 a ). „ 



(*) Cfr. C. Seore, Un nuovo campo, eoo. (loo. oit.), § 6. 



