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del Tr. per r$„_i (Tr. 3°). L'iperpiano a^ ...a„ (designando con lettere a gli n-\-2 

 punti uniti) sarà certamente tautologo (Tr. 7°), come altresì la retta a n+l a n+i : 

 dunque tautologo il punto comune alla retta ed all'iperpiano. Questo verrà in 

 conseguenza ad avere n -\- 1 punti tautologi (n dei quali non mai linearmente 

 associati, come ognun può vedere): per la qual cosa — grazie al supposto indut- 

 tivo — sarà unito qualunque punto dell'iperpiano a 1 a s ...a n , com'è unito eziandio 

 ciascun punto della retta a n+l a n+ « (Tr. 3°). Il resto al Lettore]. 



Teor. 11°. " Qualunque antiomog rafia di un S n in se stesso, che sia dotata di n-\-2 

 punti tautologi come sopra, è necessariamente una trasformaz. e involutoria (diversa 

 dall'identità) (*). „ [Infatti il quadrato di codesta aliomografia sarà una trasforma 

 identica (Dfn. 5 a e Tr. 6, 10): e d'altra parte l'identità non è per certo 

 antiomograna (Dfn. 5 a , Tr. 4°, ecc.)]. 



Teor. 12°. " Dati a piacere due spazi lineari complessi da n dimensioni o"„ e o"'„, esiste 

 una ed una sola antiomografia | di o" in a', che ad n -4- 2 punti scelti ad arbitrio 

 in o" — purché n -j- 1 di questi non mai linearmente associati — coordina n-\-2 

 punti scelti ad arbitrio in a', sotto la stessa restrizione. (**) „ [Se ciascuna delle 

 aStifmo fi6 rafle ( £ e ^ riferisca fra loro i due spazi a quel modo, il prodotto di E per 

 l'inversa di n sarà sempre un'omografia (Tr. 6°) che tien fermo ciascuno degli 

 n + 2 punti dati entro o"; laonde (Tr. 10°) ^5=1, e p. e. £=n. — Per vedere 

 che fra Geo' esiste almeno un'antifmo^rafia \ come sopra, consideriamo dapprima 

 il caso di n=2: e siano ir e ir' i due piani; a, b, e, d da una parte e a', V , e', al' 

 dall'altra i dati punti omologhi. Si riferiscan tra loro i fasci di raggi (a) e (a') 

 secondo una £nt!projettività ìi cne chiameremo u, sotto condizione che alle rette ab, 

 ac, ad corrispondano ordinatami le rette a'b', a'c', a'd' (Dfn. 4 a e Tr. 5°) ; poscia 

 i due fasci (è) e (b') secondo una ^tiproilttivitàl' cne chiameremo v, in modo che 

 ai raggi ba, bc, bd corrispondano i raggi b'a', b'c', b'd'. Se un punto variabile x 

 descrive in tt una retta r (che non passi per a, né per b), i raggi variabili a'x' 

 e b'x', trasformati di ax e bx in virtù di u e v, si corrispondon fra loro omo- 

 graficamente (ancorché si tratti d'antiomografìa, Tr. 6°) e il raggio a'b' comune 

 a questi due fasci si rappresenta in se stesso : dunque (Tr. 3°, ecc.) anche il punto x' 

 descrive una retta r' . Ora, se due punti come x ed x' si chiamano omologhi, 

 ed anche omologhi i punti dove le rette ab, a'b' son tagliate rispettiva da 

 rette come le r, r' : osservando altresì che le punteggiate r ed r' descritte dai 

 punti x ed x' vengono ad esser riferite ^tlprojettìvamente \ ^ ra l° r0 P er mezzo di M, 

 o di v (Dfn. 4 a , ecc.) ; la corrispondenza fra tt e n' così definita sarà certamente 

 un TtSg a r afia|. g razie al Tr. 9°. 



Per salire — attraverso un procedimento consimile — fino all'ipotesi più gene- 

 rale (dopo avere introdotto le nozioni di omografia ed antiomograna tra due stelle 

 di raggi, analogamente a quanto si stabilì per i fasci con la Dfn. 4 a ), si conceda 

 la verità del teorema per gli S„_i e gli 8 n _ z (dunque anche in ordine a stelle di 



(*) C. Segre, Ìbidem, § 11. 

 (**) C. Seoke, Ibidem, §§ 4, 5. 



