33 NUOVI PRINCIPII DI GEOMETRIA PROJETTIVA COMPLESSA 221 



raggi immerse entro spazi S n ) : e si riferiscali fra loro le stelle («j) e (a/), e così 

 le (a 2 ) e (a 2 ), secondo due Sf™^ e rafie ( u e v, che rappresentino luna i raggi 

 a 1 a 2 ,a 1 a 3 ,...,a 1 a n+2 coiva,ggìa, x 'a 2 '.,a 1 'a 3 ',...,aìa' n+ì , e l'altra i raggi a 2 a u a 2 a s ,...a 2 a n+2 

 coi raggi a 2 'ai, a 2 'a 3 ', ..., a 2 'a' n+t : la qual cosa è sempre possibile, grazie al sup- 

 posto induttivo. Pertanto due rette di o", purché passino rispettiv. e dai punti a u « 2 

 e s'incontrino, si cangeranno, per via di u e v, in due rette di o"' che parimente 

 s'incontrano: visto che la forma lineare di (n — • 2) ma specie, costituita in tutti 

 gli iperpiani di 0„ che contengon la retta a 1 a 2 (e si abbian come generati da 

 rette uscenti dal punto a u ovvero dal punto a 2 ) subisce la stessa trasformaz. e 

 antiprStiva \ s ^ a P er en?e tto di u, che per effetto di v : onde ogni piano di o", che 

 passi per quella retta, subisce eziandio la medesima trasformaz. 6 . E, se un punto 

 variabile x descriverà in o"„ una retta r (che non contenga nessuno dei punti a t 

 e a 2 ) il punto x' comune alle rette u {a^x) e v (a 2 x) sarà obbligato del pari a 

 spostarsi lungo una retta; e cioè sulla retta r' comune ai due piani ^(a^r) e v(a 2 r): 

 anzi le due punteggiate r(x) ed r'(x') — come sezioni dei fasci a^x), «i'(sb'), 

 corrispondenti fra loro nelle due stelle (aj) e (a-,) — saranno riferite ^° J i e *o 'Ittìvam • ì 

 fra loro. Ecc.]. 



Due spazi lineari complessi o" n e o" n ', riferiti fra loro punto per punto in virtù 

 d'una serie finita di projezioni successive, son certamente omografici, grazie 

 al Tr. 9° e alla Dfn. 2 a . Ma è vera eziandio la propsz. e reciproca, che è quanto dire: 



Teor. 13°. " L'omografia tra due spazi lineari complessi — giusta la Dfn. 5 a — 

 è una trasformaz. e costruibile per projezioni successive: che può — cioè — ■ 

 istituirsi mediante una serie finita di projezioni, atta a fornire di ciascun punto 

 dell'uno il punto omologo dell'altro. „ [Invero, dato che o" n e o,,' siano spazi omo- 

 grafici e presi a piacere in o" re gli n -\- 2 punti a u a 2 , ..., a n+1 . (sotto la consueta 

 restrizione), si può sempre assegnare in più modi, com'è ben noto (grazie al 

 princ. X) una serie finita Q di projezioni atta a condurre quei punti nei loro 

 omologhi a/, a 2 ', ..., a' n+2 di a', così che questi risultino determinati da quelli e 

 viceversa, attraverso Q. Or questa operazione Q, estesa a tutto lo spazio o~, pro- 

 duce fra a e o' un'omografia: la quale non può differir dalla data, in virtù 

 del Tr. 12°]. 



Circa i punti tautologi dell'omografia tra punteggiate sovrapposte reggono 

 in tutto — e ormai con le stesse dimostraz. 1 di Staudt — i teoremi recati ai 

 nn. 1 220-223, 236, 242-244 dei Beitràge der z. Geom. d. Lage; che però ci pas- 

 siamo di riprodurre. — Si riportano invece da C. Segee (loc. cit.) alcune prpsz. 1 

 sulle antiomografie involutorie, che gioveranno ai §§ seguenti. 



Teor. 14°. " Sopra una retta complessa, due coppie di punti conjugati di un' antin- 

 voluzione sono sempre concatenati (Segre, § 17). „ [Invero le due coppie (di 

 punti al tutto distinti) essendo per es. a, a' e b, b', la tetrade, o quaterna 

 ordinata aa'bb' sarà, per ipotesi, antiprojettiva alla tetrade a'ab'b ; la quale è 

 projettiva alla tetrade aa'bb' (Staudt, Beitr., n. 220). Dunque (Tr. 6°) esiste 

 un'antiomografia che riflette in se stesso ciascuno dei punti a,a',b,b'. Ma si sa 

 che quattro punti tautologi di un'aliomografia non identica (sopra una retta com- 

 plessa) sono sempre concatenati (Tr. 5° § 3)]. — Ne viene, ad es., che " Qualsi- 



