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voglia antinvoluzione converte in se stessa ogni catena, che passi per due punti 

 omologhi „. 



Teor. 15°. * Se a, a', b, b' siano punti concatenati e distinti gli uni dagli altri, sulla 

 retta che li contiene c'è sempre un'antinvoluzione, ed una soltanto, che permuta 

 i punti a e a' fra loro e i punti b e V fra loro (Segre, § 18). „ [La tetrade aa'bb' 



— come antiprojettiva a se stessa in ipts. (Dfn. l a e 3 a ) — dovrà essere anti- 

 projettiva alla tetrade a'ab'b (Tr. 6°). E quest'antiomografia (della retta ab con 

 se stessa) che scambia ordinatami gli a, a', b, V con gli a', a, b', b — oltre che 

 determinata ed unica, grazie al Tr. 5° — sarà certamente involutoria: però che 

 il quadrato di essa è un'omografia con più di due punti tautologi (Tr. 6° e 3°)]. 



Teor. 16°. " Sulla retta complessa — dopo l'inversione risp. ad una catena (Dfn. l a ), 

 la quale possiede infiniti punti tautologi o doppi — esistono ancora delle antin- 

 voluzioni prive al tutto di punti doppi: e, da questi due casi in fuori, non si 

 hanno altre specie di antiomografie involutorie (Segre, § 16). „ [Se esiste un 

 punto doppio p, anche l'armonico di p — sia p. es. q — rispetto a qualsivoglia 

 coppia a, a' di punti omologhi sarà certamente tautologo : né potrà darsi che 

 ogni altra coppia di punti omologhi sian sempre armonici a quei punti doppi — 

 visto che l' antinvoluzione onde si parla non può confondersi con V involuzione 

 di tutte le coppie di punti armonici ai punti p e q (Tr. 4° e § 2 Tr. 5°). 

 Dunque esistono almeno tre punti doppi distinti; e però l'antinvoluzione avrà 

 una catena di punti doppi (Tr. 4° § 2), e non potrà differire dall'inversione 

 rispetto a questa catena. (Per la qual cosa due coppie di elementi conjugati 

 non potranno mai separarsi a vicenda; e sulla loro catena esisteranno sempre 

 due punti doppi, armonici ad ambo le coppie : ecc.). Ora, se a e a', b e V siano 

 coppie di punti conjugati secondo un'antinvoluzione — e però tutti e quattro 

 giacenti sopra una stessa catena (T. 14°) — le quali non si separin fra loro; i 

 due punti armonici rispetto ad ognuna di quelle coppie saranno tautologi (*), e 

 l'antinvoluzione avrà una catena di punti doppi. Ma se, per contrario, le coppie 

 (a, a') e (b, b') si separano a vicenda ; l'antinvoluzione sarà certamente ellittica, 

 vale a dir priva di punti doppi; per la qual cosa due coppie di punti conjugati 

 quali che siano dovranno separarsi fra loro, come le (a, a') e (b, b'). Ecc.]. 



Teor. 17°. " Sopra la retta complessa, due catene autoconjugate d'una medesima antin- 

 voluzione ellittica (Tr. 14°) si tagliano sempre. „ [Poniamo che le catene auto- 

 conjugate \ e u non abbian punti a comune. (Superfluo il dire, che non potranno 

 toccarsi). Esisterà dunque (Tr. 20° § 3) una coppia di punti e, f (ed una soltanto), 

 i quali separano armonicamente si l'una e sì l'altra catena, e sono perciò conju- 

 gati fra loro nella data antinvoluzione. Ora qualunque catena che passi ad un 

 tempo per e per f taglierà \ e u in due coppie di punti armonici rispetto ad e, f 

 (Tr. 7°§ 3), le quali perciò non potranno separarsi a vicenda sulla catena (Dfn. 2 a § 2) 



— pur essendo coppie di punti conjugati nella data antinvoluzione ellittica (Tr. 14°)t 

 il che non può stare, dato il Tr. 16°]. 



(*) Com'è stabilito, ad es., nel Tr. 8° della mem. cit., Circa il teor. fond. di Staudt, ecc. 



