35 NUOVI PRINCIPII DI GEOMETRIA PROIETTIVA COMPLESSA 223 



Teor. 18°. " Qualunque antinvoluzione di un S n con se medesimo possiede infiniti 

 elementi doppi, se n è un numero pari: mentre, se n è dispari, o non 

 sopporta alcun elemento doppio, o ne possiede infiniti (Ved. C. Segre, 

 loc. cit., §§ 19, 22, 23). , 



§ 5°. 

 La zona projettiva. 



Le prime nove prpsz.' di questo § non dipendono dagli ultimi due pstl.' XXVIII 

 « XXIX. 



Defin. l a . " Essendo r una retta complessa, x una sua catena, ed e un punto arbi- 

 trario di r che non appartenga a x, il nome di " zona di x intorno ad e „ — ■ 

 ovvero il segno " x e » — starà in vece di " classe di tutti quei punti di r, per 

 ognuno dei quali — sia p. es. x — esiste una coppia di punti l'un l'altro distinti 

 e separati armonicamente dalla catena x (Dfn. 2 a § 3), oltre che 

 armonici rispetto alla coppia (e, x) „. Ovvero: " x e „ = luogo d'ogni punto 

 armonico del punto e rispetto a qualche coppia di punti armonici rispetto a x, 

 ma non coincidenti fra loro „. — Onde consegue subito che: 



Teor. 1°. " Nell'anzidetta ipotesi , il punto e spetta sempre alla zona Xs ; e qualsi- 

 voglia altro punto x della retta, purché non giacente in x, appartiene o non 

 appartiene alla zona Xc secondo che i punti, dove x è tagliata dalla catena orto- 

 gonale a x che passa per e e per x (Dfn. 3 a § 3), non sono, o sono, separati su 

 questa dai punti e, x. „ [Dfn. 2 a § 2, Tr. 7° § 3, ecc.]. 



Teor. 2°. " Sotto le stesse ipts. e detto f l'armonico di e rispetto alla catena x (Dfn. 2 a § 3), 

 se u e v saranno i punti dove questa è incontrata da una qualunque catena che 

 passi per e e per f, tutto il segmento (uev) cadrà nella zona x e ; laddove il 

 segmento complementare [ufv) ne sarà escluso interamente. „ Tutti i punti 

 della catena x sono esclusi dalla zona x«: ecc. Ved. il § 3°. 



Si osservi l'analogia che intercede fra la defnz. suddetta e quella del " segmento 

 proj. „ (Dfn. l a § 2). — Anche la qualità di sona si dovrà conservare attraverso 

 qualunque trasformaz. c aliomografica. Ecc. 



Teor. 3°. " Fatte le stesse ipotesi, se un punto x appartiene alla zona Xe, il punto e 

 dovrà giacere a sua volta nella zona Xj- E se un punto y della retta non appar- 

 tenga alla zona Xe, né alla catena x, dovrà appartenere alla zona Xf- » [Se «/ = /", 

 si ritorna al Tr. 2°. Sia dunque y diverso da f; e la catena | efy | tagli x in «e v 

 (Tr. 7° § 3). Per ipts. le coppie (e, y) ed (u,v) si separano sulla \efy\ (Tr. 1°): 

 dunque non potranno separarsi le (u, v) ed (f, y) ; visto che — per essere il punto f 

 l'armonico dopo u, v, e, e i segmenti (uev), (ufv) complementari sulla catena \efy\ 

 (9, P13 § 6) — bisogna che y stia nel segmento [ufv)\. 



Teor. 4°. " Nelle stesse ipts. del teor. a preced.% se y non coincide con f, esisterà 

 sulla catena x una ed una sola coppia di punti armonici rispetto ad e, y. „ 

 [Se u, v sian le tracce della catena \efy\ sulla catena x, i due punti armonici 



