224 



MARIO PIERI 



36 



così rispetto ad u, v, come risp. ad e, y, son separati armonicamente dalla 

 catena | efy | ; però che, su questa, le coppie (w, v) ed (e, y) si separano a 

 vicenda (Tr. 1°): dunque stanno sulla catena x, ortogonale alla \efy\ nei punti u 

 e v (§ 3 : Dfn. 3 a e Tr. 15°). Ecc.]. 



Teor. 5°. " Viceversa l'armonico z del punto e rispetto a due punti arbitrari a e b 

 di x (purché non coincidenti) sarà sempre esterno alla zona \ t . „ [Si può con- 

 ceder che z~ = f (Tr. 2°). Ora l'involuzione Arm(a, b, r) (Tr. 5° § 2) converte in 

 se stessa la catena x (XVII), e scambia fra loro i punti e, z : dunque converte 

 in se stessa la catena \efz\ ortogonale a x; e però scambia fra loro anche i 

 punti u e v, comuni alle due catene (e certamente diversi dai punti doppi a e b). 

 Dunque i punti a e b — per certo esclusi dalla catena | efz \ — sono armonici 

 ad ambo le coppie (e,z) ed {u, v); le quali perciò si separano sulla catena \efz\: 

 dunque z non appartiene a Xe (Tr. I )]. 

 Defin. 2 a . " Essendo x una catena, p e q due punti esclusi da questa — il tutto sopra 

 una retta complessa r — diremo che i punti p e q non sono, o sono, " separati 

 per mezzo della catena x » secondo che il punto q giace, o non giace dentro 

 la zona x P (o il punto p entro la zona x? : ved. il Tr. 3°). „ 

 Teor. 6°. " I punti p e q sian distinti fra loro e comuni alle due catene X e u (non 

 coincidenti fra loro); se una terza catena x, non passante per p né per q, sia 

 tagliata rispettiva da X e u in coppie di punti (a, a') e (b, b') che non si separan 

 fra loro, i punti p e q non potranno separare alcuna coppia di punti della catena x: 

 e le infinite catene, che taglian x passando per p e per q, descriveranno in x 

 un'ordinaria involuzione iperbolica. „ [Consideriamo la catena p ortogonale 



a x ne i due punti u e v di questa, che 

 sono armonici tanto rispetto alla coppia 

 (a, a'), quanto alla (b, b'): i punti a e a' 

 saranno armonici risp. a p (Tr. 15° § 3) 

 e così b e b' ; dunque X e u saranno altresì 

 ortogonali a p, e p. cons. i punti p e q 

 separati armonicam. 6 da p (Tr. 17° § 3). 

 Ora qualunque catena, che tagli x pas- 

 sando dai punti p e q, sarà, come x, orto- 

 gonale a p ; e i punti d'incontro saranno 

 Y I s v. \ ,' eziandio separati armonicamente da p r 



e p. cons. armonici risp. ai punti u e v 

 Yig. 4. (Tr. 16° § 3). — In particolare, la catena 



ortogonale a x condotta per i due punti p 

 e q dovrà tagliarne x in altri due punti armonici risp. a p: i quali perciò non 

 saranno separati l'un l'altro per mezzo dei punti p e q (Tr. 13° § 3) 

 che è quanto dire (Dfn. l a ) p e q non separati l'un l'altro per mezzo della 

 catena X- Ecc.], 



Teor. 7°. " E se (nella retta r) p e q son due punti non separati per mezzo della 

 catena x — oltre che distinti l'un l'altro e non sinuati in x — allora due coppie 

 di punti che giaccian su questa catena, e ciascuna sia incatenata coi punti p e q, 



y 



