37 NUOVI PRINCIPII DI GEOMETRIA PROJETTIVA COMPLESSA 225 



non potranno mai separarsi a vicenda. „ [Suppongasi X ortogonale a x (dmstrz. prec): 

 allora i punti a e a' non separano i punti p e q per ipotesi. Si costruisca la 

 catena p ortogonale alla catena X nei due punti armonici ad ambo le coppie {a, a') 

 e (p, q). Si otterrà, come dianzi, una catena ortogonale a tutte e tre le 

 catene X, u e x: per la qual cosa, sulla catena x, ogni coppia di punti conca- 

 tenati con p e con q saranno sempre armonici risp. a p, e due coppie di questa 

 sorta non potranno mai separarsi a vicenda]. — Resta altresì dimostrato che: 



Teor. 8°. " Se p e q son due punti distinti e non separati Fun l'altro dalla catena x 

 — oltre che esterni a x e il tutto sopra una retta complessa — esiston due 

 diverse catene che toccan x, passando sì l'una che l'altea per p e per q. Cfr. Staudt, 

 Beitr., n. 209. „ — Ma dai Teor. 6° e 7° si deduce eziandio che: 



Teor. 9°. " Se in una catena x esiston due punti a e a', i quali separino i punti p 

 ed o giacenti con quelli sopra una stessa catena, ma esterni a x, bisognerà che 

 questi p ed o sian separati per mezzo della catena x- »• 



Teor. 10°. " Se i punti p ed o come sopra sian separati l'un l'altro dalla catena x> 

 qualsivoglia catena v che li contenga taglierà sempre x in due punti separati 

 l'un l'altro per mezzo di p o di o : e , al variar di v', questa coppia di punti 

 descriverà su x un'ordinaria involuzione ellittica. „ [Si può conceder, che p 

 ed o non siano separati armonicamente da x- Ora i punti p ed o son sepa- 

 rati l'un l'altro per mezzo di due coppie di punti della catena x: e cioè 



Fig. 5. 



(per ipts.) dai punti a e a', dove x s'incontra con la catena X ortogonale a x e 

 passante per p e per o (Dfn. l a e 2 a ) , e inoltre da certi due punti b e V di x 

 armonici risp.° ai punti p ed o (Tr. 4°). Questi punti a, a', b, b' saranno al tutto 

 diversi gli uni dagli altri; e le coppie (a, a)' e (b, b') dovranno separarsi a vicenda: 

 se no — grazie al Tr. 6° — i punti p ed o non sarebber separati per mezzo 

 della catena X- Dunque l'antinvoluzione individuata da queste due coppie di 

 punti — giusta il Tr. 15° § 4 — è certamente ellittica (Tr. 16° § 4), e converte 

 in se stessa ognuna delle catene x, X e u s \pbo\ (Tr. 14° § 4): per la qual cosa i 

 punti p ed o, comuni a X e u, saranno eziandio coniugati fra loro da codesta 

 antinvoluzione ; e ogni catena v che li contenga dovrà tagliarne x (grazie al 

 Tr. 17° § 4) in due punti conjugati secondo la stessa antinvoluzione ellittica. Ecc.]. 



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