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Di qui, e dai prec. 1 tr.' 6°, 7° e 9° si deduce immediatam. e che: 



Teor. 11°. " Dati a piacere sopra una retta complessa due punti p e q, non coinci- 

 denti fra loro, ed una catena x che non ne contenga alcuno; se in questa catena 

 esiston due punti distinti concatenati con p e con q, ma non separati per 

 mezzo di questi: allora i punti p e q non saranno separati per mezzo della 

 catena x (Tr. 10°), sulla quale perciò non esiste alcuna coppia di punti, che separi 

 i punti p e q (Tr. 6°, 7°). E se, per contrario, due punti della catena x separino 

 i punti p e q, questi saranno eziandio separati da ogni altra coppia di punti 

 comuni a x e a qualsivoglia catena che passi per p e per q (Tr. 9°, 10°). „ 



Teor. 12°. " Sulla retta complessa, due punti p e q, ciascuno dei quali sia separato 

 da un medesimo punto o per mezzo d'una catena x, non sono mai separati fra 

 loro per mezzo di questa. „ [Si può conceder che p~ = q. Grazie al Tr. 10°, la 

 catena \opq\ taglia x in due punti a e b, che separano tanto la coppia (p, ó), 

 quanto la coppia (q, ó) : per la qual cosa i punti p e q sono esclusi ambedue dal 

 segmento (a oh); dunque stanno ambedue nel segmento (apb), complementare 

 di quello (0, P12 § 6), e però non sono separati per mezzo della catena x (Tr. 11 )]. 



Teor. 13°. " Due punti p e q d'una medesima zona Xe (essendo x una catena ed e un 



punto sulla medesima retta complessa, non però 

 situato in x) non sono mai separati per mezzo 

 della catena x- „ [Sia f l'armonico di e risp. a x; 

 e poniamo che le catene \efp\, \efq\ taglin x 

 nelle coppie di punti a e a', b e b' rispettivam. e 

 (Si può conceder senz'altro che p e q sian di- 

 versi da e, come sono per certo da f (Tr. 2°)). Per 

 ipts. i punti p e q giaceranno rispettiv. e nei due 

 segmenti {aea')\ (beb'), che escludono sì l'uno 

 che l'altro il punto f; dunque saranno ambedue 

 separati da questo punto f per mezzo della ca- 

 tena X (Dfn. 2 a e Tr. 1°): onde basta appellarsi 

 al Tr. 12°]. 



Di qui nasce senz'altro che: 



Teor. 14°. " Dati x ed e come sopra, se un punto p appartiene alla zona Xe> le due 

 zone x« e x P si confonderanno in una sola. „ 



Teor. 15°. " Se in una retta complessa r sono dati una catena x e due punti e, q 

 separati l'un l'altro per mezzo di questa, bisognerà che qualunque sia punto di 

 quella retta appartenga ad una delle due zone Xe, X 9 , ovvero che giaccia 

 sulla catena x : per la qual cosa r = x« u X? u X- » [Qualsivoglia punto x della 

 retta, ove sia escluso da x e da Xe, dovrà stare in Xf — f essendo l'armonico di e 

 risp. a x — grazie al Tr. 3°: ma X/-= X, , grazie ai Tr. 13° e 14°]. — Insomma: 

 " qualunque catena divide la retta che la contiene in due zone; le quali non 

 hanno alcun punto a comune, ma, prese insieme con la catena, riproducon la 

 retta .. 



