39 NUOVI PRINCIPII DI GEOMETRIA PROIETTIVA COMPLESSA 227 



§ 6°. 

 Lo spazio proiettivo reale. 



In uno spazio prj. complesso o„ da n dimensioni tolgansi n-\-2 punti a u a 2 , ...,«„+», 

 sotto condizione, che n-\- 1 tra questi non siano mai linearmente associati (Dfn. 2 a § 1). 

 Grazie ai Tr. 11°, 12° § 4, i punti di quello spazio potranno accoppiarsi fra loro secondo 

 un'antiomografia involutoria, che rappresenti ciascuno dei punti a u a 2 , ..., a„ +2 con se 

 stesso; la quale perciò resterà pienamente individuata, e dovrà possedere infiniti 

 punti doppi o tautologhi, giusta il Tr. 18° § 4 (sarà dunque uri antinvoluzione iper- 

 bolica di o"„ in se stesso). — Per n = \ — cioè sulla retta complessa — il 

 luogo di codesti punti tautologi non è altro che la catena |a 1 a 2 «sl (Tr. 16° § 4). Or 

 sarà conveniente di porre, col prof. C. Segre (*), la seguente definiz. e : 



" Il nome " catena di n esima specie „, o " catena n-pla „ spetta alla classe dei 

 punti doppi inerenti a qualsivoglia antinvoluzione iperbolica dell'<S n com- 

 plesso con se medesimo. „ — Per la qual cosa: 



" n -4- 2 punti a u a 2 , ..., a„ +2 come sopra giacciono sempre in una catena w-pla, 

 la quale risulta per essi individuata „. 



Lo studio d'una catena (nei rispetti della Geom. a Projettiva) si confonde con 

 quello di un'antinvoluzione iperbolica; e può condursi, per via costruttiva o sintetica, 

 sulle tracce dei prec' §§ senza bisogno di alcun nuovo principio deduttivo. Ma qui 

 si vogliono considerare soltanto (e per poco) le catene doppie e triple: perciò si sup- 

 pone addirittura, che l'ambiente proj. sia un S 3 complesso o" 3 . 



Sia dunque % un'antinvoluzione iperbolica dello spazio prj. complesso ff 3 con sé 

 medesimo; e T la catena tripla fondamentale (luogo dei punti doppi) di %. Se a e b 

 sono punti di T — arbitrari, pur che distinti fra loro — l'antinvoluzione % dovrà 

 convertire in se stessa la retta ab: di guisa che l'inversione, che % produce su questa 

 retta (Tr. 16° § 4), avrà una catena semplice, o rettilinea, di punti doppi, tutta giacente 

 su T. Pertanto " Due punti arbitrari a e b della catena l~, purché distinti fra loro, 

 individuano sempre una catena rettilinea — da chiamar p. es. )ab\ — che li 

 contiene, e giace per intero in T: anzi questa catena semplice, e quella che resta 

 individuata nel modo stesso per mezzo di due de' suoi punti (arbitrari perché distinti) 

 coincideranno sempre in una sola „. Qualsivoglia retta che incontri la catena fonda- 

 mentale T, avrà con essa un sol punto a comune, oppure la taglierà, come dianzi, 

 lungo una catena semplice (quando sia retta autoconjugata in %): cosicché, per 

 tre o più punti di l~, l'esser collineari equivale a coesistere in una catena sem- 

 plice tutta giacente su l~. Preso dunque a piacere su V un terzo punto e, che non 

 appartenga alla catena \ab\, i punti a,b,c ne porgono un piano complesso tras- 

 formato in se stesso da %, e però contenente una catena doppia, o piana, di punti 

 uniti (Tr. 18° §4): dunque i punti a, è e e si posson congiunger fra loro mediante 



(*) Loo. cit., § 12. 



