228 MABIO PIERI 40 



una catena piana \abc\ tutta giacente in T; né mai spetteranno tutti e tre 

 insieme a due catene sì fatte (non coincidenti fra loro). E cosi qualunque piano 

 di a che sia convertito in se stesso da % — per es. il piano congiungente una retta 

 unita con un punto doppio che non le appartenga — taglierà T nei punti d'una 

 catena piana (Tr. 18° § 4): la quale poscia, a sua volta, includerà qualunque 

 catena rettilinea che ne contenga due punti e giaccia per intero su f" : e 

 quattro o più punti di l~, che non giacciano sopra una stessa catena piana con- 

 tenuta da T, son linearmente indipendenti. — Qualunque piano di o", che non sia 

 convertito in se stesso da %, taglierà T nei punti d'una catena semplice; però 

 che quel piano ed il suo conjugato in % avranno a comune una retta tautologa in %. 

 Una catena rettilinea ed una catena piana, che giacciano insieme su T 



— non però l'una nell'altra — s'incontrano sempre in un punto: però che i sostegni 

 (retta e piano) di quelle catene avranno un punto a comune, certamente doppio per %. 

 E cosi due diverse catene piane di T si tagliano sempre lungo una catena 

 rettilinea; e due diverse catene rettilinee giacenti sopra una stessa catena 

 piana di T hanno sempre un punto a comune. Ecc., ecc. 



Ora, se piaccia di legger dovunque " putito proj." „, senz'altro, in vece di " punto 

 prj. complesso di V " (interpetrando la catena fondamentale di % come un "am- 

 biente proiettivo „) e " congiungente due punti prj. distinti „ invece di "catena 

 rettilinea, che unisce su T una coppia di punti prj. distinti „ (onde " retta prj. „ = 

 " catena rettilinea di T „, e " piano prj. „ = " catena piana di l~ „); e di conceder 

 sin d'ora il pstl. XXX ed ultimo (che per altri motivi è da rimandare al § seguente); 

 n'esciranno verificati, senza eccezione o restrizione di sorta, tutti i principi su cui 

 riposa la Greom. a Projettiva ordinaria, o reale: principi raccolti e compen- 

 diati nelle diciannove prpsz.' primitive di 6, circa le due nozioni primitive 

 di " punto prj. „ e " congiungente "due punti prj. „. Così facendo s'istituisce, sul 

 fondamento dei nuovi principi I-XXX, un'esatta e completa rappresentazione della 

 Geom* Projettiva reale (*) : e insieme con la varietà T resta così definito esplici- 

 tamente uno spazio proj, ordinario (9, P23 § 11), da chiamar quind' innanzi reale 



— dato il maggior contenuto dei termini " punto prj.° complesso „ e " retta prj. a 

 complessa» — come reale è per qualificarsi ogni punto della varietà I". 



Si osservi che, dati a piacere i punti distinti a, b, e, d sopra una stessa catena ret- 

 tilinea di T, se avvien che la coppia di punti armonici ad ambo le coppie a,b e e, d non 

 appartenga a quella catena semplice, non potrà esister nemmeno sulla catena tripla T : 

 però che due punti armonici risp. ad a e b sono obbligati a giacere sopra la retta ab; 

 la quale, fuor di | abe | , non ha punti a comune con f". Dunque il giudizio : " La coppia 

 dei punti armonici ad altre due coppie di punti giacenti sopra una stessa catena 

 semplice di T appartiene — o non appartiene — alla varietà T „, nel lin- 

 guaggio convenzionale teste indicato si traduce per la proposiz. : " Esiste — o non 

 esiste — una coppia di punti armonici ad altre due coppie di punti collineari „: 

 per la qual cosa i postulati che versano intorno al separarsi dei punti sopra 

 una retta projettiva (G, XV-XVII) appariscono qui come pure e semplici interpetra- 

 zioni dei nuovi principi XX-XXII, nei rispetti dell'ordinaria 6eom. a Projettiva reale. 



(*) Cfr. Segee, loc. cit., § 12. 



