41 NUOVI PKINCIPII DI GEOMETRIA PROIETTIVA COMPLESSA 229 



Si può dunque passare dall'ambiente projettivo complesso allo spazio proj. 

 reale mediante opportune restrizioni, o determinazioni, imposte ai concetti generali 

 di punto prj. complesso e retta prj. complessa: per via molto simile a quella, 

 che suol condurre dal piano proj. e dallo spazio proj. ordinario ai vari piani e 

 spazi Euclidiani e non-Euclidiani, e senza bisogno di concepire lo spazio come 

 una varietà numerica. E al modo stesso chele ordinarie metriche projettive si 

 offrono allora come speciali dottrine, d'indole projettiva, intorno a coniche o qua- 

 dri eh e date, così la 6eom. a Proj. a reale del piano e dello spazio ordinario apparirà 

 come uno studio projettivo della catena doppia o tripla. 



Una volta assegnata l'antinvoluzione %, o conjugio, questa prenderà il nome di 

 " antinvoluzione assoluta di 0" „, e la catena [tripla T di " assoluto projettivo reale „. 

 Due punti di e, conjugati secondo l'antinvoluzione assoluta, faranno una coppia di 

 punti complessi-conjugati: ecc. — Sarà poscia opportuno qualificar di "complessa- 

 reale „ ogni forma autoconjugata, cioè convertita in se stessa da %, ancorché 

 non giacente su l~. Così di due punti complessi conjugati a e a' l'un l'altro distinti 

 nessuno è reale; e nondimeno sarà complessa-reale la coppia (a, a'), e com- 

 plessa-reale la congiungente aa'. Una retta di o~ 3 , che non sia complessa-reale, 

 sarà immaginaria di 1* o di 2 A specie, secondo che avrà con T un sol punto a 

 comune, o non avrà nessun punto a comune. Una retta immaginaria di l a specie 

 conterrà un punto reale, e giacerà sempre (con la sua conjugata) in un piano com- 

 plesso-reale. Qualsivoglia piano complesso di cr 3 includerà tutto un piano reale, o una 

 sola retta reale (una catena piana o rettilinea di l~) secondo che sarà, o non sarà, 

 piano complesso-reale. Ecc., ecc. 



§ 7°. 



Birapporti e coordinate complesse. 



Se, a partire da tre punti complessi a, b, e collineari e distinti fra loro, e per 

 ogni valore intero, positivo o nullo, degli indici i ed l si costruiscono i punti : 



Po ss b e (per i>0) & = Arm(a, p^, e) ; 

 P,-,o = a, Pus fr e (per Z>1) p j/( = Arm(c, P,-i_ 1; fr,,.*), 



come al § 2; indi al punto p,-,i si coordina la frazione -^- (dopo avere osservato, 



che i punti p ijt e P,- +hi! »i coincidono, quali che siano gl'interi, positivi o nulli, i, l, h) 

 rimarrà stabilita una corrispondenza univoca e reciproca fra la classe di tutti 

 i punti p come sopra e quello di tutti i numeri razionali, positivi o nulli, esprimibili 

 per frazioni aventi a denominatore le varie potenze del 2 ; vale a dire dei numeri 

 rappresentabili, sotto forma finita, con le due figure della numerazione binaria. 

 Ved. i §§ 7, 8 della mem. a " Circa il teorema fondant.* di Staudt etc. „ più volte citata. 

 — I punti a, b, e n'escono contrassegnati dai numeri 0, 1, oo. Tolti a e e, quei punti p 

 giacciono tutti sul segmento proj. (abe); e si possono disporre in serie compatta (liberali 



dicht) ordinandoli, ad es., per valori crescenti dell'ascissa -~c (e questo criterio di 



