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successione non differisce dall'ordinamento naturale secondo a, b, e) : inoltre si prova, 

 che il segmento {abe) per se solo, o preso insieme con ambo gli estremi a e e, e 

 una classe di punti (semplicemente ordinata e) condensata in sé stessa, nel senso di 

 G. Cantor: ecc., ecc. 



Concedasi ora il seguente principio (già proposto, col num.° d'ordine XVIII", nel 

 Saggio testò richiamato) : 



POSTULATO XXX. 



" Premesso che a, b, e siano punti collineari e distinti, qualsivoglia 

 progressione del tipo: 



Pl.i,, p2,l,, $3,k, ■ • -, Pm,J b , ■ ■ -, 



ascendente nell'ordine naturale abe, che possa istituirsi nei 

 punti p, ;i contemplati dal Postul. XXIII (§ 2), ammette sempre u n 

 limite superiore. „ 



In virtù di questo nuovo principio si può liberamente affermare (ivi, § 9), che 

 il segmento proj. (abe) con ambo gli estremi a e e — supposto ordinato secondo 



il criterio naturale abe — sarà un continuo lineare nella comune accezione 

 del termine: vale a dire una figura isomorfa o simile alla classe di tutti i 

 numeri reali positivi o nulli, presi in ordine di crescente grandezza. In altre 

 parole, questo XXX pstl. involge la rappresentabilità della classe di tutti i 

 numeri reali positivi (lo zero e l'infinito incluso) sulla classe (abe) u \a u | e. — 

 Dopo ciò, per distender completamente la variabile reale sulla catena jaèc|,non 

 resta più che subordinare a ciascun numero negativo — k (k essendo un numero 

 reale positivo) il coniugato armonico del punto, che nel segm. t0 (abe) corrisponde 

 a + k, preso rispetto agli estremi a e e del segmento. 



Le due premesse XXIII e XXX conferiscono in somma ad ogni catena | a bc\ 

 la continuità perfetta, nel senso di R. Dedekind e G. Cantor. E invero codesti 

 due principi equivalgono insieme al solo pstl. XVIII di 6 — che va sotto il 

 nome di R. Dedekind — il quale potrebbe anche farne le veci. Ma è bene osser- 

 vare, che l'introduzione di coordinate omogenee atte a rappresentare i punti 

 dell' S 3 (o deH'»S„) complesso sopra un conveniente campo numerico potrebbe ese- 

 guirsi indipendentemente dall'ultimo principio XXX — e cioè sul 

 fondamento dei soli pstl. I-XXIX — lasciando impregiudicata ogni q.uistione circa 

 la potenza definitiva di quell'aggregato di punti: e che il detto principio XXX 

 interviene soltanto all'ufficio di stabilire qualmente a ciascun numero reale, tutto 

 che dato ad arbitrio, corrisponde sempre un punto sulla catena. Ecc. 



Ora siano a, b, e come sopra tre punti arbitrari d'una retta complessa r, purché 

 distinti fra loro ; ed e, f i due punti armonici ad ambo le coppie (a, e) e (6, d) 

 — posto che d sia l'armonico di b risp. ad « e e, d==Arm(a,c,b). Distin- 

 guiamo per brevità con (£) e (n) le due catene ortogonali \abc\, \aec\ (assi, o 

 catene di riferimento, in r); ponendo insomma: (S) =\abc\, (x\)=\aec\. Indi 



