45 NUOVI PRINCIPII DI GEOMETRIA PROJETTIVA COMPLESSA 233 



soltanto, i due valori (a'b'c'p 1 ),, (a'b'c'p')f si confondono in un sol numero reale 

 (Tetradi neutre, secondo Staudt). 



Defin. 3 a . " Se a',b',c',p' sono punti d'una retta complessa, i quali non si riducano 

 a men che tre punti distinti; si può chiamare " birapporto della tetrade a'b'c'p' „ 

 la coppia di valori complessi coniugati che spetta alla tetrade (giusta la 

 definiz. e 2 a ) se — dopo aver tolto i punti di paragone 0, 1, oo in a', b', e rispet- 

 tivamente — si lascia indeterminata la scelta del quarto punto di paragone V — 1 

 fra i punti armonici rispetto ad ambo le coppie (a 1 , e') e (b', Arm(a', c',b)). „ 

 (in altri termini): (a'b'c'p') = x' ± Ì~ 1 y' ; dove x' A r Ì'—iy' ed x' — f—iy' 

 sono le ascisse del punto p' nei due sistemi di riferimento (a ', è/, cj, e'y— i) ed 

 ( a o> V» C J, fi-i) (Dfn. l a ). — 11 birapporto così definito si offre pertanto come 

 invariante assoluto della tetrade rispetto a qualunque aliomografia: e, preci- 

 samente, se una trasformazione sì fatta rappresenta a', b', e', p' in a",b",c",p", 

 i valori corrispondenti delle due tetradi a'b'c'p' e a"b"c"p" — o vogliam dire 

 le ascisse dei punti p' e p" calcolate come abbiam detto or ora, scegliendo 

 però le unità immaginarie in maniera, che si corrispondano per la data ali- 

 omografia — saranno uguali fra loro; e immaginari conjugati saranno i valori 

 non corrispondenti: ma il birapporto delle due tetradi è sempre lo stesso. 

 E l'uguaglianza dei bir apporti (a'b'c'p') e (a"b"c"p") sarà condizione necessaria 

 e sufficiente acciò che le due tetradi siano aliomografiche ' — cioè projettive 

 od antiprojettive fra loro (§ 4). 



La separazione dei due valori conjugati del birapporto definito a questa 

 maniera non è possibile, fintantoché la tetrade a'b'c'p' si considera come isolata 

 entro l'ambiente projettivo complesso o": come, senza ricorrere a qualche termine 

 di paragone, o (ciò che torna lo stesso) a qualche serie di operazioni spaziali 

 che definisca il passaggio dall'una all'altra figura, non è possibile la distinzione 

 tra forme projettive od antiprojettive fra loro (*). Quale oggetto di para- 

 gone, a cui riferir la quaterna a'b'c'p', potrebbe servir l'assoluto dei punti reali 

 — come in Beitr. zur G. d. L., n. 398 e passim — ma può anche bastare al 

 medesimo ufficio un sistema di riferimento (a , b u c x , ey-i)> giusta le dfnz. 1 

 prec. 1 — Il birapporto di quattro punti concatenati sarà uguale al valor della 

 tetrade (contato due volte) e però univalente e reale. Il birapporto di ogni tetrade 

 armonica sarà, in conseguenza, uguale all'unità negativa: ecc., ecc. — 



Si faccia per poco astrazione da quanto abbiam detto in questo §. Si potrà 

 nondimeno assegnare — sul fondamento dei soli principi I-XXX — una deter- 

 minazione metrica Euclidiana sulla catena tripla l~, tolta come assoluto dei punti 

 reali entro l'ambiente proj. complesso da tre dimensioni (Ved. il § 6): e poscia 

 seguire in tutto e per tutto (senz'appellarsi a nessun altro principio geometrico) 

 i ragionamenti di C. v. Staudt ai §§ 19-21 e 27-29 dei Beitr. zur G. d. L. — 

 non escluse le argomentazioni e costruzioni metriche del § 27 — per giungere 

 alla nozione del valor d'una tetrade secondo Staudt (ivi, § 28), alla dimostrazione 

 delle sue proprietà principali (ibidem), alla rappresentazione della variabile com- 



(*) Cfr. C. Seghe, loo. cit., § 1 in nota. 

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