GRUPPI CONTINUI REALI 



DI 



TRASFORMAZIONI CONFORMI DELLO SPAZIO 



MEMORIA 



DI 



UGO AMALDI 



A CAGLIARI 



Approvata nell'Adunanza dell'll Giugno 1905. 



La molteplicità delle teorie, alle quali il gruppo delle trasformazioni conformi 

 dello spazio in qualche modo si riattacca, e la singolare eleganza delle sue proprietà 

 geometriche, mi hanno fatto pensare che non dovesse riuscire priva di interesse la 

 classificazione dei gruppi reali di trasformazioni conformi del nostro spazio. 



Se si tien conto del fatto che il gruppo conforme si può definire come l'insieme 

 delle trasformazioni puntuali, che trasformano in sé l'insieme delle sfere e, quindi, 

 il complesso delle rette minime, e, d'altro canto, si pensa alla classica rappresenta- 

 zione del Lie di codesto complesso quadratico su di un complesso lineare (non spe- 

 ciale) ( 1 ), nasce spontanea l'idea di far dipendere la determinazione dei gruppi con- 

 formi da quella dei sottogruppi del gruppo proiettivo del complesso lineare, che fu 

 già compiuta dal sig. Knothe ( 2 ). 



Ma, sopratutto in vista del mio proposito di determinare i gruppi conformi reali, 

 mi persuasi ben presto che questa via assai indiretta mi avrebbe condotto ad una 

 discussione così minuta e così complicata di casi particolari da riuscir persino mal- 

 sicura. Preferii quindi un metodo più diretto ; e presi le mosse dall'altra, pur notis- 

 sima, osservazione, per cui il gruppo conforme si ottiene rappresentando stereogra- 

 ficamente sullo spazio il gruppo subordinato su di una sfera dello spazio a quattro 

 dimensioni dal gruppo delle proiettività, che la trasformano in se stessa ( 3 ). 



( l ) " Ges. der Wiss. di Christiania „, febbraio 1869. Cfr. anche Lie-Scheffers , Geometrie der 

 Beriihrungstransformationen, Bd. I, Kap. X, § 3. 



Un cenno del metodo ideato dal Lie e applicato dal Knothe trovasi al § 60 (pag. 258) del 

 3° voi. della Theorie der Transformationsgruppen di Lie ed Engel. Ma non mi e riuscito in nessun 

 modo di procurarmi la Dissertazione del Knothe (" Archiv for Math. og Naturv. „, Bd. 15, 1892), 

 cosicché mi mancò la possibilità di fare, tra i risultati del Knothe e i miei, quei raffronti, che sareb- 

 bero stati opportuni e, fors'anco, interessanti. 



( 3 ) Klein, Ueber Liniengeometrie und metrische Geometrie, " Math. Ann. „, t. V, 1872. 



