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Comincio, così, col determinare un sistema completo di sottogruppi massimi 

 prima per il gruppo proiettivo di una quadrica di S 4 in genere, poi per quello di 

 una sfera reale; e trovo che in quest'ultimo caso codesti sottogruppi si riducono al 

 gruppo che trasforma in se una retta esterna (e quindi un cerchio sulla sfera) e ai 

 gruppi che lasciano fermo un punto o esterno, o interno o appartenente alla sfera 

 stessa. Si è in tal modo condotti a classificare, oltreché i gruppi reali di movimenti 

 euclidei e di similitudini, i gruppi reali di movimenti dello spazio ellittico ed iper- 

 bolico. 



Codesta classificazione si potrebbe far dipendere da quella già compiuta dal Lie 

 (prescindendo da ogni questione di realità), pei gruppi proiettivi di una quadrica dello 

 spazio ( 1 ). Ma anche qui, tenuto conto del proposito di determinare i gruppi reali 

 (e irreducibili fra loro per trasformazioni reali) si giunge più agevolmente al risultato, 

 ricorrendo a una discussione geometrica diretta. La quale, come ben si può preve- 

 dere, non conduce a scoprire tipi essenzialmente nuovi di gruppi di movimenti non 

 euclidei, in quanto i più notevoli fra essi si sono spontaneamente presentati in 

 ricerche anteriori ( 2 ). Cionondimeno, imbattutomi lungo il mio cammino in codesta 

 classificazione, ho pensato valesse la pena di dedicare ad essa una parte di questo 

 lavoro. 



Noto infine che il gruppo conforme totale, in quanto contiene trasformazioni che 

 scambiano le rette minime (di 2 a specie) destrorse in sinistrorse e viceversa, è un 

 gruppo misto : ma io prendo a considerare il gruppo continuo in esso contenuto, cioè 

 il gruppo generato completamente (nell'intorno di un punto generico) dalle dieci tra- 

 sformazioni infinitesime seguenti: 



p, q, r; yr — za, zp — xr, xq — yp; xp + yq-\- zr, 



(x 2 — y 2 — z 2 )p-\- 2xyq-\-2xzr, 2yxp -\-{y 2 — z 2 — x 2 )q -j- 2yzr, 2zxp -\-2zyq-\- (z 2 — x 2 — y 2 )r. 



Le prime sette (rispettivamente: traslazioni, rotazioni, omotetie) generano il 

 gruppo dei movimenti (euclidei) e delle similitudini: mentre le ultime tre sono quelle 

 trasformazioni infinitesime che il Werner chiama " circolazioni per l'origine „ e che 

 si ottengono trasformando le traslazioni infinitesime mediante una trasformazione per 

 raggi vettori reciproci (avente il polo nell'origine) : in guisa che le traiettorie dei 

 rispettivi gruppi oo 1 sono cerchi tangenti nell'origine ai singoli assi coordinati. 



Adempio qui da ultimo al gradito dovere di ringraziare il ch mo prof. C. Segre t 

 che, dopo aver letto il manoscritto di questo lavoro, ebbe la cortesia di comunicarmi 

 alcune osservazioni, delle quali io utilmente approfittai. 



(') Lie-Engel, Op. cit., Ili voi., Kap. 10. 



( 2 ) Cfr. p. es. Klein, Nicht-Eiiklidische Geometrie, II, passim; come pure Fano, Lezioni di geo- 

 metria non euclidea, pagg. 236, 250 eoe. Nel III voi. dell'opera dianzi citata di Lie-Engel sono accen- 

 nati a pag. 538 i due gruppi oo* di movimenti iperbolici ed ellittici (integrabile l'uno e non inte- 

 grabile l'altro). 



