I GRUPPI CONTINUI REALI DI TRASFORMAZIONI CONFORMI DELLO SPAZIO 313 



I. — Sui gruppi proiettivi dì una quadrica 

 dello spazio lineare a quattro dimensioni. 



1. — È notorio che una quadrica Q\ di S 4 ammette un gruppo proiettivo G 10 a 

 dieci parametri e che codesto 6r 10 non ammette sottogruppi ad otto o nove para- 

 metri, mentre contiene due tipi distinti (e due soltanto) di sottogruppi a sette para- 

 metri: cioè il €? 7 che lascia fermo un punto sulla quadrica e il <?/ che lascia ferma 

 una generatrice ( x ). 



Accanto a codesti due gruppi vien fatto naturalmente di considerare il sotto- 

 gruppo del 6rio, che ammette un punto invariante P, non appartenente alla qua- 

 drica, e che, subordinando nello S 3 polare di P rispetto a Q\ il gruppo proiettivo di 

 una quadrica ordinaria, dipende da sei parametri. Se indichiamo con 6r 6 quest'ultimo 

 sottogruppo del nostro €r 10 , possiamo chiederci se ogni gruppo proiettivo della qua- 

 drica Q\, distinto da (? 7 , 6r 7 '> 6r 6 sia equivalente (esclusa per ora ogni distinzione 

 relativa alla realità) a un sottogruppo di uno di codesti tre gruppi, o, come si può 

 dir brevemente, se 6r 7 , (?/ , 6r 6 costituiscano un sistema completo di sottogruppi mas- 

 simi del gruppo proiettivo della quadrica. 



A questa domanda va risposto negativamente. È bensì vero che ogni gruppo 

 proiettivo integrabile della quadrica è equivalente a un sottogruppo di 6r 7 o G- 6 , in 

 quanto per un teorema del Lie ( 2 ) ogni gruppo proiettivo integrabile di S n ammette 

 un punto S invariante (e una retta S ± invariante passante per S , uno S 2 invariante 

 per $!,..., uno S n _i invariante a cui appartengono tutti gli spazi invarianti precedenti). 



Ma non così di certi sottogruppi non integrabili. I gruppi non integrabili, in 

 virtù di un teorema fondamentale dell'ENGEL ( 3 ), sono caratterizzati dal fatto di con- 

 tenere (almeno) un sottogruppo semplice a tre parametri, cioè un sottogruppo olo- 

 edricamente isomorfo al gruppo proiettivo totale sulla retta. Siamo così condotti 

 intanto a cercare i sottogruppi semplici a tre parametri del 6r 10 della quadrica. 



Ora i tipi di gruppi proiettivi semplici oo 3 di S é furono già enumerati e stu- 

 diati dal sig. Fano ( 4 ), onde potremo valerci qui senz'altro dei suoi risultati. Ma per 

 non interrompere il filo della nostra deduzione ci sembra qui opportuno di indicare 

 alcuni enunciati generali, che il Fano scelse a base della sua determinazione e che, 

 del resto, torneranno ancor utili a noi nel seguito di questa ricerca. 



Il Lie ebbe più volte occasione di mettere in luce il fatto (presumibilmente già 

 prima, in qualche modo, noto) che un gruppo proiettivo semplice co 3 di S n , il quale 

 non ammetta nessuno spazio lineare invariante a meno di n dimensioni, è dato dal- 

 l'insieme di tutte le trasformazioni proiettive, che lascian ferma una curva razionale 



(') Werner, " Math. Ann. „, Bd. 35; Killing, * Math. Ann. „, Bd. 36. Del resto il risultato par- 

 ticolare suindicato risale allo stesso Lie, " Ges. d. Wiss. di Christiania „, 1885. 



( 3 ) Lie-Engel, Theorie der Transformationsgruppen, voi. I, pag. 589, voi. Ili, pag. 681. 



( 3 ) Kleineren Beitràgen zur Gruppentheorie, II e Vili. Leipz. Ber., 1889 e 1893. 



( 4 ) Sulle varietà algebriche con un gruppo continuo non integrabile di trasformazioni proiettive 

 in sé. " Mem. della R. Acc. delle Se. di Torino „, s. II, t. XLVI, 1895-96. 



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