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normale di quello spazio ( 1 ). E questa osservazione fu poi completata dallo Study 

 col seguente notevolissimo teorema ( 2 ): 



" Se un gruppo proiettivo semplice co 3 di S„ ammette in questo qualche spazio 

 " lineare invariante ad un numero minore di dimensioni, gli spazi invarianti minimi 

 " (fra loro indipendenti) costituiscono un sistema appartenente ad S n , per modo che, 

 " se hi, h 2 , ..., h m sono le loro dimensioni, si ha 



h-\-h-\-- + K=n J i-l „. 



In base a queste proposizioni generali il sig. Fano, accanto al G 3 della quartica 

 razionale, enumera nello spazio a quattro dimensioni, corrispondentemente alle pos- 

 sibili decomposizioni in numeri interi del numero 5, altri tre tipi di gruppi proiettivi 

 semplici co 3 ; e, come risulta dallo studio che ne fa il Fano, di questi tre tipi uno 

 soltanto ammette quadriche (non specializzate) invarianti, ed è il G 3 , che trasforma 

 in se le quadriche di un fascio, avente come varietà base una quadrica Q\ di S 3 

 contata due volte, e lascia ferme su questa quadrica base Ql tutte le generatrici di 

 un sistema. Codesto G 3 lascia naturalmente fermo anche il polo P di codesto S 3 di 

 contatto rispetto alle quadriche del fascio, cosicché è un sottogruppo del G$ che 

 trasforma in se il punto P e una quadrica generica del fascio. 



Accanto agli accennati gruppi semplici oo 3 studiati dal Fano, noi dobbiamo con- 

 siderare qui un tipo ulteriore di G- 3 semplici, che il Fano lascia esplicitamente da 

 parte come privo di interesse per la sua ricerca, cioè il tipo dei gruppi semplici oo 3 

 con un fascio di S 3 uniti. Ora se un tal gruppo trasforma in sé una quadrica Ql, 

 ammette come retta invariante la polare rispetto a Ql dello S 2 asse del fascio di S 3 

 uniti; onde risulta subito (esclusi al solito i gruppi misti) che non può trattarsi se 

 non di un gruppo che lasci fermo un punto una retta della quadrica invariante. 



Il G 3 invece della quartica razionale in S 4 non è equivalente ad un sotto- 

 gruppo né di G 7 , né di 6r 7 ' , né di G s ; cosicché intanto è dimostrato che questi tre 

 ultimi gruppi non costituiscono un sistema completo di sottogruppi massimi del G 1Q della 

 quadrica Ql. 



2. — Vogliamo ora provare che a formare un tal sistema completo di sotto- 

 gruppi massimi basta aggiungere a quei soliti tre gruppi il solo G 3 della quartica 

 razionale. 



A tale scopo, avendosi già, come notammo sopra, che ogni gruppo integrabile 

 rientra in Gr 7 , in (?/ , o in (? 6 , basta esaminare i gruppi non integrabili, cioè 

 i gruppi che contengono come sottogruppo il G 3 della quartica razionale il G 3 

 del fascio di quadriche. 



( 1 ) Lie-Engel, Op. cit., voi. Ili, pag. 187 e 758. 



( 2 ) Questo teorema è enunciato alla pag. 785 del III voi. dell'op. cit. di Lie-Engel, dove è affer- 

 mato che la dimostrazione, tuttora inedita, dello Studt non è completa, ma che I'Engel è riuscito 

 a stabilire il teorema dello Stddy in modo rigoroso. Tuttavia la sola dimostrazione che sia stata 

 finora pubblicata è la dimostrazione sintetica molto ingegnosa, che fu data dal sig. Fano nella 

 .Memoria citata sopra. 



