5 I GRUPPI CONTINUI KEALI DI TRASFORMAZIONI CONFORMI DELLO SPAZIO 315 



Ora per quel che riguarda il 6r 3 si ha, in base ad un teorema generale 

 del Kowalewski ( x ), che esso non è contenuto in nessun gruppo proiettivo meno 

 ampio del G 10 totale della quadrica. 



Passiamo allora al 6r 3 ', che è un sottogruppo di G 6 , ma che, a priori, non 

 possiamo escludere sia contenuto in qualche altro gruppo distinto dal G 6 e dai suoi 

 sottogruppi. Per vedere se ciò effettivamente accada, cominciamo col notare che un 

 gruppo co 4 , che contenga il G B ' , appartiene certamente al G e , perchè ogni gruppo 

 non integrabile a quattro parametri ammette un unico sottogruppo oo 3 semplice, il 

 quale è perciò invariante ( 2 ) ; quindi nel nostro caso il gruppo co 4 trasformerà in se 

 (oltre il fascio di quadricbe) anche il punto unito isolato del C? 3 ' e sarà quindi 

 contenuto in 6? 6 . 



Un gruppo G 5 a cinque parametri che contenga il nostro 6r 3 ' semplice, ma non 

 come sottogruppo invariante (nel qual caso non potremmo che ricadere nel G 6 ) con- 

 terrà ( 3 ) oo 2 sottogruppi equivalenti al G 3 e perciò ammetterà come superficie inva- 

 riante l'insieme dei punti uniti isolati di codesti co 2 sottogruppi co 3 semplici : codesta 

 superficie sarà invariante anche rispetto ad ogni sottogruppo del G 5 , quindi in par- 

 ticolare ad un suo sottogruppo co 3 semplice generico, che potremo identificare col 

 nostro G' 3 ; ora questo G' 3 non ammette altre superficie invarianti all' infuori dei 

 piani del cono quadrico (a tre dimensioni) che dal punto P proiettano le generatrici 

 della quadrica base Q\ del fascio ( 4 ), onde concludiamo che sarà invariante rispetto 

 al gruppo oo 3 uno di codesti piani e quindi una retta sulla quadrica invariante 

 del (? 5 , il quale sarà perciò un sottogruppo del nostro 6r' 7 . 



Ad analoghe conclusioni si giunge per i gruppi a sei parametri, in quanto un 

 gruppo oo 6 non integrabile, che non ammette un sottogruppo semplice oo 3 invariabile, 

 contiene o oo 3 G' z semplici equivalenti o oo 2 gruppi non integrabili oo 4 ( 6 ), ciascuno 

 dei quali, come sappiamo, ammette un sottogruppo semplice oo 3 invariante. Ora nel 

 primo caso il gruppo co 6 dovrebbe trasformare in se la varietà V 3 a tre dimensioni 

 costituita dai punti uniti isolati degli oo 3 sottogruppi semplici a tre parametri, e 

 codesta varietà, dovendo essere invariante anche rispetto al G' 3 generico e conte- 

 nerne il punto unito isolato P, non potrebbe essere che il cono circoscritto da P al 

 fascio invariante di quadriche, e su codesto cono il vertice dovrebbe essere inva- 

 riante rispetto al gruppo oo 6 , il che conduce ad una contraddizione. 



Se poi consideriamo un gruppo oo 6 , che contenga oo 2 gruppi oo 4 non integra- 

 bili equivalenti, siccome ciascuno di questi deve trasformare in sé il punto unito 

 isolato del suo gruppo semplice oo 3 , abbiamo che il gruppo oo 6 deve ammettere 

 come superficie invariante il luogo di codesti co 2 punti uniti isolati dei sottogruppi oo 4 ; 

 onde si deduce, come nel caso dei gruppi oo 5 , che deve restar ferma una retta sulla 

 quadrica invariante e che quindi il gruppo oo 6 è contenuto nel nostro G' 7 . 



(') Ueber die projehtive Gruppe de?- Normkurve tmd eine charokterìstìsehe Eigenscìiaft des sechs- 

 dimensionalen Raumes. Leipz. Ber., 1902. 

 (') Lie-Engel, Op. cit., voi. Ili, pag. 723. 

 ( 5 ) Lie-Engel, ibidem, pag. 736. 



( 4 ) Fano, loc. cit., pag. 217. 



( 5 ) Lie Engel, Op. cit., voi. Ili, pag. 743. 



