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Resta così stabilito che i gruppi G-,, G' 7 , G 6 e G 3 costituiscono un sistema 

 completo di sottogruppi massimi del G 10 della quadrica, onde possiamo enunciare il 

 seguente : 



Teoeema. Ogni sottogruppo del gruppo proiettivo a dieci parametri di una quadrica 

 (non specializzata) dello spazio ce quattro dimensioni, ove si prescinda da ogni questione 

 di realità, è equivalente, dentro il gruppo totale: 



o al Cr 7 che lascia fermo un punto sulla quadrica; 



o al G\ che lascia ferma una generatrice ; 



o al G s che ammette un punto invariante non appartenente alla quadrica; 



o al G 3 che ammette (sulla quadrica) una quartica razionale unita; 



o, infine, ad un sottogruppo di uno dei gruppi dianzi enumerati. 



II. — Sui gruppi proiettivi reali di una sfera reale 

 dello spazio lineare a quattro dimensioni. 



3. — Applicheremo ora i resultati del § prec. al caso di una sfera reale. E 

 poiché noi qui ci proponiamo di determinare i tipi di sottogruppi reali del gruppo 6r 10 

 della sfera, dovremo anzitutto discutere il teorema del § prec. dal punto di vista 

 della realità. 



Cominciando dal gruppo a tre parametri della quartica razionale, vedremo che 

 esso non ha nel gruppo G 10 della sfera nessun rappresentante reale. Perciò si noti che 

 il gruppo proiettivo oo 3 di una quartica razionale C 4 di S 4 ammette una sola quadrica 

 invariante ( 1 ), la quale non è altro che la quadrica (di Clifford) unica e ben determi- 

 nata che passa per la curva e tocca in ogni suo punto il relativo S 3 osculatore ( 2 ). 



Ora, data in S 4 una qualsiasi quartica razionale reale C 4 , si può in infiniti 

 modi scegliere un sistema reale di riferimento (pentaedro di osculazione) tale che le 

 equazioni della curva, in coordinate cartesiane, assumano la forma 



(i) 2/2 = yì, yì = y\, yé = yl 



Allora la corrispondente quadrica di Clifford è data dalla 



(2) tytf,, — 3y\ — iji = 0, 



e la forma quadratica del primo membro è riducibile, mediante la trasformazione 

 lineare reale 



Zi + Z3 



Vi — 



2/3 = 



2(1 + zò 



Z2 



V3(1 + «J 



2j Z 3 



2(1+»*) 



1 — 2 4 



l + s 4 



( 4 ) Pano, loc. cit., pag. 212 (26). 



( 2 ) Clifford, Oh the Classification of Loci, " Phil. Trans. ,, 1878. 



