7 I GRUPPI CONTINUI REALI DI TRASFORMAZIONI CONFORMI DELLO SPAZIO 317 



alla forma canonica 



«ì — «S + 4 + «5—1; 



onde si conclude, in base alla legge di inerzia del Sylvester, che non è possibile 

 ridurre, per mezzo di una trasformazione lineare reale, la quadrica (2) ad una sfera, 

 e quindi che il gruppo proiettivo di una sfera reale non ammette nessun sottogruppo 

 reale oo 3 , che trasformi in se una quartica razionale reale. 



D'altro canto se, combinando la (3) colla z 2 = iz 2 ' , z s = iz 3 '; trasformando la (2) 

 in una sfera, e consideriamo su questa, la quartica razionale immaginaria trasfor- 

 mata della (1), si verifica direttamente che il gruppo oo 3 della nuova quartica è 

 immaginario ed, anzi, non ammette nessun sottogruppo reale. Invero il gruppo am- 

 messo dalla (1) è generato dalle tre trasformazioni infinitesime (*) 



2i + %i?2 + SiMì + 4M4 



Mi + 2 M2 + 3 M3 + 4 M* 



3«/ 2 ?i + 22/322 + Ma — fyiiVi.1i. + Ma + Ms + Mi) 



dove, f essendo una funzione generica, si è posto <& — — — («' = 1,2,3,4); onde si 



trova che il gruppo della nostra quartica razionale immaginaria ammette le tre tra- 

 sformazioni infinitesime (immaginarie) 



|/3 («iTb — z 2 r t ) — 2 3 r 4 + z& % + i jj-j. — Zitelli + z 2 r 2 + z 3 r 3 + 2 4 r 4 ) J 

 (4) j |/3 (z 2 r B — z 3 r 2 ) — 2 4 r 1 -f z^\ + «' ) r 3 — z 3 {z 1 r 1 + z 2 r. 2 + 2 3 r 3 + 2 4 r 4 ) j 

 ( z x r % — z 3 r x + 2i)r i — z i (z 1 r 1 + z 2 r 2 + z 3 r 3 + z 4 r 4 ) ( 



dove ri = -J— [i = 1, 2, 3, 4), le quali sono evidentemente siffatte che nessuna loro 



combinazione lineare è reale. 



Concludendo, il gruppo proiettivo della sfera di # 4 non ammette nessun sottogruppo 

 reale, che trasformi in sé una quartica razionale. 



4. — Passando a considerare gli altri gruppi massimi del gruppo della sfera, 

 abbiamo che il gruppo oo 7 che lascia ferma una generatrice della sfera è immagi- 

 nario, mentre ogni suo sottogruppo reale, dovendo lasciar ferma anche la generatrice 

 coniugata e, quindi, il punto reale comune alle due, sarà un sottogruppo del G 1 che 

 ammette un punto (reale) unito sulla sfera. 



Quanto al G 6 che lascia fermo un punto npn appartenente alla sfera, distin- 

 guiamo due casi a seconda che codesto punto unito isolato è reale o immaginario. 

 Se il punto invariante è reale, avremo due tipi di gruppi a sei parametri, fra loro 

 distinti (nel campo reale) a seconda che il punto unito è esterno o interno alla sfera. 

 Se invece il punto unito è immaginario, sarà unito anche il punto coniugato, e sarà 



(') Lie-Engel, Op. oit., voi. Ili, pag. 187. 



